В треугольнике PQR с прямым углом при вершине R провели высоту RH. Известны длины двух отрезков: QH = 9 и QR = 18. Найдите длину стороны РQ. PQ=

Ответ: 45

1. Шаг 1: Найдем длину отрезка RH. Рассмотрим прямоугольный треугольник QRH. В этом треугольнике QR является гипотенузой, а QH и RH - катетами. По теореме Пифагора:

   \[QR^2 = QH^2 + RH^2\]

   Подставим известные значения:

   \[18^2 = 9^2 + RH^2\]

   \[324 = 81 + RH^2\]

   \[RH^2 = 324 - 81\]

   \[RH^2 = 243\]

   \[RH = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}\]

2. Шаг 2: Найдем длину отрезка PH. Рассмотрим прямоугольный треугольник RPH. В этом треугольнике RP является гипотенузой, а PH и RH - катетами. Заметим, что треугольники QRH и RPH подобны, так как оба прямоугольные и имеют общий угол при вершине R. Значит, можем записать пропорцию:

   \[\frac{PH}{RH} = \frac{RH}{QH}\]

   Подставим известные значения:

   \[\frac{PH}{9\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{9}\]

   \[PH = \frac{(9\sqrt{3})^2}{9}\]

   \[PH = \frac{81 \cdot 3}{9}\]

   \[PH = 9 \cdot 3 = 27\]

3. Шаг 3: Найдем длину стороны PQ. Сторона PQ состоит из отрезков PH и QH, следовательно:

   \[PQ = PH + QH\]

   \[PQ = 27 + 9 = 36\]

4. Шаг 4: Проверим решение. В прямоугольном треугольнике PQR высота RH, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному. Из подобия треугольников PQR и QRH следует: \[\frac{PQ}{QR} = \frac{QR}{QH}\] \[PQ = \frac{QR^2}{QH}\] \[PQ = \frac{18^2}{9}\] \[PQ = \frac{324}{9}\] \[PQ = 36\]

Ответ: 36