В треугольнике провели три высоты (рис. 269). Сколько пар подобных треугольников образовалось при этом?

Ответ:

Смотри, тут всё просто: в прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному. Разбираемся:

1. ΔABN ~ ΔHBN (оба прямоугольные, ∠B — общий)
2. ΔABN ~ ΔAKH (оба прямоугольные, ∠A — общий)
3. ΔHBN ~ ΔAKH (следует из 1 и 2)
4. ΔBKM ~ ΔCMH (оба прямоугольные, ∠BKM = ∠CMH как вертикальные)
5. ΔBKM ~ ΔBNC (оба прямоугольные, ∠B — общий)
6. ΔCMH ~ ΔBNC (следует из 4 и 5)
7. ΔACH ~ ΔABN (оба прямоугольные, ∠ACH = 90° - ∠NAC = ∠ABN)
8. ΔACH ~ ΔBCN (оба прямоугольные, ∠ACH = ∠CBN)
9. ΔAKH ~ ΔCMH (оба прямоугольные, ∠AKH = ∠CMH как вертикальные)
10. ΔABC ~ ΔHMC (оба прямоугольные, ∠C — общий)
11. ΔABC ~ ΔHKA (оба прямоугольные, ∠A — общий)
12. ΔAHC ~ ΔBHA (оба прямоугольные, углы при вершине H равны как вертикальные)

Всего образовалось 12 пар подобных треугольников.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что все пары треугольников имеют равные углы.

Доп. профит: Читерский прием: Запомни, что высоты в треугольнике создают множество подобных треугольников, что часто используется в олимпиадных задачах.