В треугольнике QPR равны стороны PR и QR, а величина угла QPR равна 42°. От луча PR отложен угол величиной а, как это показано на рисунке. Известно, что с помощью одного из признаков параллельных прямых удалось доказать, что PS || QR. Какова величина угла RPS? α Ο

В треугольнике QPR стороны PR и QR равны, следовательно, треугольник равнобедренный с основанием PQ. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, углы ∠RPQ = ∠RQP.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Так как ∠QPR = 42°, то

∠RPQ + ∠RQP = 180° - 42° = 138°.

Поскольку ∠RPQ = ∠RQP, то

∠RPQ = 138° ∶ 2 = 69°.

Так как PS || QR, то углы ∠SPR и ∠PRQ являются соответственными углами при параллельных прямых PS и QR и секущей PR. Соответственные углы равны, следовательно, ∠SPR = ∠PRQ = 69°.

Угол α (RPS) является смежным с углом ∠SPR. Сумма смежных углов равна 180°, следовательно,

α = ∠RPS = 180° - ∠SPR = 180° - 69° = 111°.

Ответ: α = 111°