В треугольнике QPR угол Р=75 градусов, PN-высота. Найдите угол PQR, если QN=PR+RN

Привет! Давай решим эту интересную задачу по геометрии вместе.

Дано:

• Треугольник QPR
• ∠P = 75°
• PN - высота
• QN = PR + RN

Найти: ∠PQR

Решение:

1. Построение дополнительной точки:

   На стороне QN отметим точку D так, чтобы QD = PR. Тогда DN = QN - QD = (PR + RN) - PR = RN.

2. Рассмотрим треугольники PRN и QND:

   • PR = QD (по построению)
   • RN = DN (по построению)
   • ∠PNR = ∠QND = 90° (PN - высота)

   Следовательно, треугольники PRN и QND равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

3. Из равенства треугольников:

   ∠RPN = ∠QDN. Пусть ∠RPN = x. Тогда ∠QDN = x.

4. Рассмотрим треугольник PNR:

   Так как PN - высота, то ∠PNR = 90°. Тогда ∠RPN = 90° - ∠PRN. Обозначим ∠PRN = y. Тогда x = 90° - y.

5. Рассмотрим треугольник PRD:

   PR = QD, PD - общая. ∠RPD = ∠QPD = 75° - x. Так как треугольник PRD равнобедренный (PR=QD), то углы при основании равны: ∠PRD = ∠PDR.

   Сумма углов в треугольнике PRD равна 180°: ∠RPD + ∠PRD + ∠PDR = 180° (75° - x) + ∠PRD + ∠PRD = 180° 2 * ∠PRD = 180° - (75° - x) ∠PRD = (180° - 75° + x) / 2 ∠PRD = (105° + x) / 2

6. Угол PRQ:

   ∠PRQ = ∠PRN + ∠NRQ = y + ∠NRQ ∠PRQ = ∠PRD - ∠QRD = (105° + x) / 2 - ∠QRD

7. Сумма углов в треугольнике PQR:

   ∠P + ∠Q + ∠R = 180° 75° + ∠Q + ∠R = 180° ∠Q + ∠R = 105° ∠Q = 105° - ∠R

8. Вывод:

   Соединим точки P и D. Так как QD = PR, а DN = RN, то треугольники PRN и QDN равны по двум сторонам и углу между ними (∠PNR = ∠QND = 90°). Следовательно, ∠Q = ∠RDP. Поскольку треугольник PRD равнобедренный (PR = QD), то ∠RPD = ∠RDP = ∠Q. Угол PQR = 30 градусов

Ответ: ∠PQR = 30°

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!