Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов В и С.
Ответ:
1. В прямоугольном треугольнике ABH: ∠BAH = 90° - ∠B.
2. В прямоугольном треугольнике ACH: ∠CAH = 90° - ∠C.
3. ∠HAD = ∠BAH - ∠BAD = (90° - ∠B) - (∠BAC / 2).
4. ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C.
5. ∠HAD = 90° - ∠B - (180° - ∠B - ∠C) / 2 = (180° - 2∠B - 180° + ∠B + ∠C) / 2 = (∠C - ∠B) / 2. Если ∠B > ∠C, то ∠HAD = (∠B - ∠C) / 2. Следовательно, ∠HAD = |∠B - ∠C| / 2. Доказано.
2. В прямоугольном треугольнике ACH: ∠CAH = 90° - ∠C.
3. ∠HAD = ∠BAH - ∠BAD = (90° - ∠B) - (∠BAC / 2).
4. ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C.
5. ∠HAD = 90° - ∠B - (180° - ∠B - ∠C) / 2 = (180° - 2∠B - 180° + ∠B + ∠C) / 2 = (∠C - ∠B) / 2. Если ∠B > ∠C, то ∠HAD = (∠B - ∠C) / 2. Следовательно, ∠HAD = |∠B - ∠C| / 2. Доказано.
