В треугольнике со сторонами 15 и 12 проведены высоты к этим сторонам. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 8. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

Площадь треугольника можно вычислить двумя способами: как половину произведения основания на высоту, опущенную на это основание. Так как площадь треугольника не меняется, то приравняем площади, выраженные через разные основания и высоты. Пусть ( a ) и ( b ) — стороны треугольника, а ( h_a ) и ( h_b ) — высоты, опущенные на эти стороны соответственно. Тогда площадь треугольника ( S ) можно выразить как: ( S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b ) В нашем случае ( a = 15 ), ( b = 12 ), и ( h_a = 8 ) (высота, опущенная на большую сторону). Нужно найти ( h_b ) (высоту, опущенную на меньшую сторону). Подставим известные значения в формулу: ( \frac{1}{2} cdot 15 cdot 8 = \frac{1}{2} cdot 12 cdot h_b ) Упростим уравнение, умножив обе стороны на 2: ( 15 cdot 8 = 12 cdot h_b ) ( 120 = 12 cdot h_b ) Теперь найдем ( h_b ), разделив обе стороны уравнения на 12: ( h_b = \frac{120}{12} ) ( h_b = 10 ) Ответ: Высота, опущенная на меньшую сторону треугольника, равна 10.