В треугольнике \(\triangle ABC\) проведена биссектриса \(BD\). Найдите длину отрезка \(AD\), если \(\frac{AB}{BC} = \frac{1}{3}\), \(AC = 36\).

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника:

\[ \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} \]

Нам дано:

• \(\frac{AB}{BC} = \frac{1}{3}\)
• \(AC = 36\)

Из \(AC = AD + DC\) следует, что \(DC = AC - AD = 36 - AD\).

Подставим известные значения в свойство биссектрисы:

\[ \frac{1}{3} = \frac{AD}{36 - AD} \]

Теперь решим это уравнение:

• Умножим обе стороны на \(3(36 - AD)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 1 \cdot (36 - AD) = 3 \cdot AD \]

Раскроем скобки:

\[ 36 - AD = 3AD \]

Перенесём \(-AD\) в правую часть:

\[ 36 = 3AD + AD \]

Сложим \(AD\) члены:

\[ 36 = 4AD \]

Разделим обе стороны на \(4\):

\[ AD = \frac{36}{4} \]

Вычислим результат:

\[ AD = 9 \]

Ответ: 9