В треугольнике АВС угол C равен 90°, cosA = √17 17, BC = 2. Найдите АС.

Разбираемся:

1. Косинус угла A в прямоугольном треугольнике ABC определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):
   \[\cos A = \frac{AC}{AB}\]
2. Выразим AC через cos A и AB:
\[AC = AB \cdot \cos A\]
3. Чтобы найти AB, воспользуемся определением косинуса и теоремой Пифагора или основным тригонометрическим тождеством. В данном случае проще использовать соотношение между сторонами и косинусом:
Показать подробные вычисления

Так как cos A = \(\frac{\sqrt{17}}{17}\), то

\(\frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{AC}{AB}\)

Выразим AB: \(AB = \frac{AC}{\frac{\sqrt{17}}{17}} = AC \cdot \frac{17}{\sqrt{17}}\)

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

Подставим выражение для AB: \((AC \cdot \frac{17}{\sqrt{17}})^2 = AC^2 + 2^2\)

\(AC^2 \cdot \frac{289}{17} = AC^2 + 4\)

\(AC^2 \cdot \frac{289}{17} - AC^2 = 4\)

Приведем подобные слагаемые:

\(AC^2(\frac{289}{17} - 1) = 4\)

\(AC^2(\frac{289 - 17}{17}) = 4\)

\(AC^2(\frac{272}{17}) = 4\)

\(AC^2 = 4 \cdot \frac{17}{272}\)

\(AC^2 = \frac{68}{272} = \frac{1}{4}\)

\(AC = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5\)

4. AC = 0.5