В трёх вершинах квадрата ABCD закреплены точечные заряды + q > 0, - q и + 2q соответственно (см. рисунок). Опираясь на законы электродинамики, определите, как изменятся направление и модуль вектора напряжённости результирующего электростатического поля в центре квадрата, если заряд - q переместить из вершины В в вершину D? Сделайте рисунки, на которых постройте векторы напряжённости результирующего электростатического поля в центре квадрата для двух случаев расположения зарядов.

Решение:

Рассмотрим два случая расположения зарядов и вычислим результирующее электрическое поле в центре квадрата.

Случай 1: Заряды в вершинах A (+q), B (-q), C (+2q).

Пусть сторона квадрата равна \( a \). Центр квадрата находится на пересечении диагоналей. Расстояние от каждой вершины до центра квадрата равно \( r = \frac{a}{\sqrt{2}} \). Напряжённость электрического поля, создаваемого точечным зарядом \( q_0 \) на расстоянии \( r \) равна \( E = k \frac{|q_0|}{r^2} \).

В этом случае заряды расположены в вершинах A, B, C. Заряд в вершине D отсутствует.

1. Напряжённость поля в центре от заряда \( +q \) (вершина A): \( \vec{E}_A \) направлен от A к центру. Модуль \( E_A = k \frac{q}{r^2} \).

2. Напряжённость поля в центре от заряда \( -q \) (вершина B): \( \vec{E}_B \) направлен от центра к B. Модуль \( E_B = k \frac{|-q|}{r^2} = k \frac{q}{r^2} \).

3. Напряжённость поля в центре от заряда \( +2q \) (вершина C): \( \vec{E}_C \) направлен от C к центру. Модуль \( E_C = k \frac{2q}{r^2} \).

Векторы \( \vec{E}_A \) и \( \vec{E}_B \) направлены вдоль одной диагонали, но в противоположные стороны. Их результирующий вектор \( \vec{E}_{AB} = \vec{E}_A + \vec{E}_B \) имеет нулевой модуль, так как \( E_A = E_B \). Вектор \( \vec{E}_{AB} = 0 \).

Вектор \( \vec{E}_C \) направлен от C к центру, т.е. вдоль диагонали AC. Так как \( \vec{E}_{AB} = 0 \), результирующее поле в центре квадрата равно \( \vec{E}_{res1} = \vec{E}_C \), и его модуль \( E_{res1} = E_C = k \frac{2q}{r^2} \), направлен от C к центру.

Рисунок 1 (Случай 1):

Случай 2: Заряды в вершинах A (+q), C (+2q), D (-q).

Заряд \( -q \) перемещён из вершины B в вершину D.

1. Напряжённость поля в центре от заряда \( +q \) (вершина A): \( \vec{E}_A \) направлен от A к центру. Модуль \( E_A = k \frac{q}{r^2} \).

2. Напряжённость поля в центре от заряда \( +2q \) (вершина C): \( \vec{E}_C \) направлен от C к центру. Модуль \( E_C = k \frac{2q}{r^2} \).

3. Напряжённость поля в центре от заряда \( -q \) (вершина D): \( \vec{E}_D \) направлен от центра к D. Модуль \( E_D = k \frac{|-q|}{r^2} = k \frac{q}{r^2} \).

Векторы \( \vec{E}_A \) и \( \vec{E}_C \) направлены вдоль одной диагонали, но в противоположные стороны. Их результирующий вектор \( \vec{E}_{AC} = \vec{E}_A + \vec{E}_C \). \( E_{AC} = E_C - E_A = k \frac{2q}{r^2} - k \frac{q}{r^2} = k \frac{q}{r^2} \). Направление \( \vec{E}_{AC} \) — от C к центру.

Вектор \( \vec{E}_D \) направлен от центра к D, т.е. вдоль диагонали BD. Его модуль \( E_D = k \frac{q}{r^2} \).

Результирующее поле \( \vec{E}_{res2} \) будет суммой векторов \( \vec{E}_{AC} \) и \( \vec{E}_D \). Эти векторы перпендикулярны друг другу (они направлены вдоль диагоналей квадрата).

Модуль результирующего поля: \( E_{res2} = \sqrt{E_{AC}^2 + E_D^2} = \sqrt{\left(k \frac{q}{r^2}\right)^2 + \left(k \frac{q}{r^2}\right)^2} = \sqrt{2 \left(k \frac{q}{r^2}\right)^2} = k \frac{q}{r^2} \sqrt{2} \).

Направление результирующего поля будет под углом 45 градусов к каждой из диагоналей, направленное в сторону D и C.

Рисунок 2 (Случай 2):

Вывод:

При перемещении заряда \( -q \) из вершины B в вершину D, направление и модуль результирующего вектора напряжённости электростатического поля в центре квадрата изменятся.

В первом случае результирующее поле равно полю от заряда \( +2q \) и направлено от C к центру. Во втором случае результирующее поле является векторной суммой полей от \( +q \) и \( +2q \) (направлено от C к центру) и поля от \( -q \) (направлено от центра к D). Результирующее поле во втором случае имеет модуль \( k \frac{q}{r^2} \sqrt{2} \) и направлено под углом 45 градусов к диагоналям.