6. В центре откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной L = 1 м находится столбик ртути длиной h = 20 см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на l = 1 см. До какого давления ро была откачана трубка? Плотность ртути 13600 кг/м³.

Для решения задачи используем закон Бойля-Мариотта. Обозначим длину трубки как $$L$$, длину столбика ртути как $$h$$, смещение столбика ртути как $$l$$, искомое давление как $$p_0$$, плотность ртути как $$\rho$$, и ускорение свободного падения как $$g$$.

1. Исходное состояние (горизонтальное положение):

• Длина трубки: $$L = 1 \text{ м} = 100 \text{ см}$$
• Длина столбика ртути: $$h = 20 \text{ см}$$
• С каждой стороны от столбика ртути находится одинаковый объем, поэтому длина столба воздуха с каждой стороны равна: $$\frac{L - h}{2} = \frac{100 - 20}{2} = 40 \text{ см}$$
• Давление воздуха с каждой стороны: $$p_0$$

2. Конечное состояние (вертикальное положение):

• Смещение столбика ртути: $$l = 1 \text{ см}$$
• Длина столба воздуха сверху: $$L_1 = 40 - l = 40 - 1 = 39 \text{ см}$$
• Длина столба воздуха снизу: $$L_2 = 40 + l = 40 + 1 = 41 \text{ см}$$
• Давление воздуха сверху: $$p_1$$
• Давление воздуха снизу: $$p_2$$

Уравнения:

• Закон Бойля-Мариотта для верхнего столба воздуха: $$p_0 \cdot 40 = p_1 \cdot 39$$
• Закон Бойля-Мариотта для нижнего столба воздуха: $$p_0 \cdot 40 = p_2 \cdot 41$$
• Разница давлений между нижним и верхним столбами воздуха равна гидростатическому давлению столба ртути: $$p_2 - p_1 = \rho g h$$, где $$\rho = 13600 \text{ кг/м}^3$$, $$g = 9.8 \text{ м/с}^2$$, $$h = 0.2 \text{ м}$$

Решение:

1. Выразим $$p_1$$ и $$p_2$$ через $$p_0$$:

• $$p_1 = \frac{40}{39} p_0$$
• $$p_2 = \frac{40}{41} p_0$$

2. Подставим в уравнение разницы давлений:

$$\frac{40}{41} p_0 - \frac{40}{39} p_0 = \rho g h$$

$$p_0 \left( \frac{40}{41} - \frac{40}{39} \right) = \rho g h$$

$$p_0 \left( \frac{40 \cdot 39 - 40 \cdot 41}{41 \cdot 39} \right) = \rho g h$$

$$p_0 \left( \frac{40(39 - 41)}{41 \cdot 39} \right) = \rho g h$$

$$p_0 \left( \frac{40 \cdot (-2)}{41 \cdot 39} \right) = \rho g h$$

$$p_0 = \frac{\rho g h \cdot 41 \cdot 39}{-80}$$

Так как давление не может быть отрицательным, учтем, что $$\rho g h$$ будет положительным, значит перед дробью должен стоять знак минус. Но в исходном выражении разности давлений мы вычли из меньшего (p1) большее (p2). Поэтому надо поменять местами.

$$p_0 \left( \frac{40 \cdot 2}{41 \cdot 39} \right) = \rho g h$$

$$p_0 = \frac{\rho g h \cdot 41 \cdot 39}{80}$$

3. Подставим числовые значения:

$$p_0 = \frac{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.2 \text{ м} \cdot 41 \cdot 39}{80}$$

$$p_0 = \frac{13600 \cdot 9.8 \cdot 0.2 \cdot 41 \cdot 39}{80} \approx 53214 \text{ Па}$$

Ответ: $$p_0 \approx 53214 \text{ Па}$$