В цилиндр вписана правильная п-угольная призма. Найдите отношение объемов призмы и цилиндра, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6; г) п = 8; д) п — произвольное целое число.

Решение:

Обозначим:

• R – радиус основания цилиндра
• H – высота цилиндра и призмы
• n – число сторон правильного многоугольника в основании призмы

Объём цилиндра равен:

$$V_{цилиндра} = πR^2H$$

Площадь правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна:

$$S_n = \frac{1}{2}nR^2sin(\frac{2π}{n})$$

Объём призмы равен:

$$V_{призмы} = S_nH = \frac{1}{2}nR^2sin(\frac{2π}{n})H$$

Отношение объёмов призмы и цилиндра:

$$\frac{V_{призмы}}{V_{цилиндра}} = \frac{\frac{1}{2}nR^2sin(\frac{2π}{n})H}{πR^2H} = \frac{nsin(\frac{2π}{n})}{2π}$$

Вычислим отношение объёмов для разных значений n:

a) n = 3:

$$\frac{V_{призмы}}{V_{цилиндра}} = \frac{3sin(\frac{2π}{3})}{2π} = \frac{3sin(120°)}{2π} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2π} = \frac{3\sqrt{3}}{4π} ≈ 0.4135$$

б) n = 4:

$$\frac{V_{призмы}}{V_{цилиндра}} = \frac{4sin(\frac{2π}{4})}{2π} = \frac{4sin(90°)}{2π} = \frac{4 \cdot 1}{2π} = \frac{2}{π} ≈ 0.6366$$

в) n = 6:

$$\frac{V_{призмы}}{V_{цилиндра}} = \frac{6sin(\frac{2π}{6})}{2π} = \frac{6sin(60°)}{2π} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2π} = \frac{3\sqrt{3}}{2π} ≈ 0.8270$$

г) n = 8:

$$\frac{V_{призмы}}{V_{цилиндра}} = \frac{8sin(\frac{2π}{8})}{2π} = \frac{8sin(45°)}{2π} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2π} = \frac{2\sqrt{2}}{π} ≈ 0.9003$$

д) n – произвольное целое число:

$$\frac{V_{призмы}}{V_{цилиндра}} = \frac{nsin(\frac{2π}{n})}{2π}$$

Ответ:

• а) $$ \frac{3\sqrt{3}}{4π} ≈ 0.4135$$
• б) $$\frac{2}{π} ≈ 0.6366$$
• в) $$\frac{3\sqrt{3}}{2π} ≈ 0.8270$$
• г) $$\frac{2\sqrt{2}}{π} ≈ 0.9003$$
• д) $$\frac{nsin(\frac{2π}{n})}{2π}$$