В цилиндрический сосуд с водой помещён камень, который удерживается двумя нитями, привязанными к плавающей льдине и ко дну сосуда. Силы натяжения нитей отличаются в 1,5 раза, и меньшая из них равна T = 2 Н. Определите изменение уровня воды в сосуде после того, как лёд растает. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых. Площадь дна сосуда S = 50 см². Плотность воды \(\rho_0\) = 1 г/см³. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Решение: 1. Определим большую силу натяжения нити: $$T_{большая} = 1.5 \cdot T = 1.5 \cdot 2 \text{ Н} = 3 \text{ Н}$$ 2. Рассмотрим силы, действующие на систему "камень + льдина". До таяния льда на систему действуют сила тяжести камня $$P_к$$, сила тяжести льдины $$P_л$$, сила Архимеда $$F_A$$ и силы натяжения нитей $$T$$ и $$1.5T$$. $$P_к + P_л = F_A + T + 1.5T$$ $$P_к + P_л = F_A + 2.5T$$ Так как $$P = mg = \rho V g$$, а $$F_A = \rho_0 V_п g$$, где $$V_п$$ - объем погруженной части льдины, то $$\rho_к V_к g + \rho_л V_л g = \rho_0 V_п g + 2.5T$$ 3. После таяния льда на систему действует только сила тяжести камня $$P_к$$, сила тяжести воды, получившейся от таяния льда $$P_{вода}$$, и сила Архимеда $$F'_A$$. $$P_к + P_{вода} = F'_A$$ $$\rho_к V_к g + \rho_0 V_л g = \rho_0 V'_п g$$ где $$V'_п$$ - объем погруженной части камня и воды. 4. Изменение объема погруженной части равно: $$\Delta V_п = V'_п - V_п = \frac{\rho_к V_к g + \rho_0 V_л g}{\rho_0 g} - \frac{\rho_к V_к g + \rho_л V_л g - 2.5T}{\rho_0 g} = \frac{\rho_0 V_л g - \rho_л V_л g + 2.5T}{\rho_0 g} = \frac{(\rho_0 - \rho_л)V_л g + 2.5T}{\rho_0 g}$$ 5. Масса льда равна объему получившейся воды: $$m_л = m_{вода}$$, тогда $$\rho_л V_л = \rho_0 V_{вода}$$, где $$V_{вода} = V_л \frac{\rho_л}{\rho_0}$$. 6. Тогда изменение объема: $$\Delta V_п = \frac{(\rho_0 - \rho_л)\frac{m_л}{\rho_л} g + 2.5T}{\rho_0 g} = V_л - \frac{\rho_л}{\rho_0} V_л + \frac{2.5T}{\rho_0 g} = \frac{(\rho_0 - \rho_л)V_л g + 2.5T}{\rho_0 g}$$ 7. Изменение уровня воды в сосуде: $$\Delta h = \frac{\Delta V_п}{S} = \frac{2.5T}{\rho_0 g S}$$ Подставим значения, не забыв перевести все в одну систему единиц СИ: $$\Delta h = \frac{2.5 \cdot 2 \text{ Н}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 50 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{5}{500 \cdot 10^{-4}} = \frac{5}{0.05 \cdot 10} = \frac{5}{5} = 0.1 \text{ м} = 10 \text{ см}$$ Значит, изменение уровня воды равно 10 см, но так как лед удерживал нить, то необходимо вычесть изменение уровня, вызванное таянием льда: $$\Delta h = \frac{(\rho_0 - \rho_л)V_л g}{\rho_0 g S} = \frac{(1000-900) \cdot V_л}{\rho_0 S} = \frac{100 \cdot V_л}{1000 \cdot 50 \cdot 10^{-4}}$$ Масса льда: $$P_л = \rho_л V_л g = 900 \cdot V_л \cdot 10 = 3 \text{ Н}$$, откуда $$V_л = \frac{3}{9000} \text{ м}^3$$ Тогда: $$\Delta h = \frac{100 \cdot \frac{3}{9000}}{1000 \cdot 50 \cdot 10^{-4}} = \frac{\frac{300}{9000}}{0.5} = \frac{1}{30} \cdot 2 = \frac{1}{15} \approx 0.067 \text{ м} = 6.7 \text{ см}$$ Изменение уровня воды: $$\Delta h = 10 - 6.7 = 3.3 \text{ см}$$ Округлим до десятых: 3.3 см Ответ: 3.3