В цилиндрическом сосуде под поршнем массой 15 кг находится идеальный газ при температуре 27°С. После того, как на поршень сверху поставили гирю, и система пришла в равновесие, температура газа оказалась равной 127°С, а объем, занимаемый газом, уменьшился на 20%. Найти массу гири. Трением поршня о стенки сосуда и атмосферным давлением пренебречь. Округлить число до целых.

Решение:

Переведем температуры в Кельвины:

Начальная температура \( T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K} \).

Конечная температура \( T_2 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \text{ K} \).

Объем газа уменьшился на 20%, значит, конечный объем \( V_2 = V_1 \cdot (1 - 0.20) = 0.8 V_1 \).

Масса поршня \( m_{поршня} = 15 \text{ кг} \).

Обозначим массу гири как \( m_{гири} \).

Начальное давление газа \( P_1 \) определяется силой тяжести поршня, деленной на площадь поршня \( S \), плюс атмосферное давление \( P_{атм} \):

\[ P_1 = \frac{m_{поршня} \cdot g}{S} + P_{атм} \]

Конечное давление газа \( P_2 \) определяется силой тяжести поршня и гири, деленной на площадь поршня, плюс атмосферное давление:

\[ P_2 = \frac{(m_{поршня} + m_{гири}) \cdot g}{S} + P_{атм} \]

По закону Шарля (при изохорном процессе, если бы объем не менялся, но здесь температура растет, а объем падает, поэтому используем объединенный газовый закон, но с учетом изменения давления)

Используем уравнение состояния идеального газа: \( PV = nRT \).

В начальном состоянии: \( P_1 V_1 = \nu R T_1 \).

В конечном состоянии: \( P_2 V_2 = \nu R T_2 \).

Разделим второе уравнение на первое:

\[ \frac{P_2 V_2}{P_1 V_1} = \frac{T_2}{T_1} \]

Подставим \( V_2 = 0.8 V_1 \) и \( P_1 = \frac{m_{поршня} g}{S} + P_{атм} \), \( P_2 = \frac{(m_{поршня} + m_{гири}) g}{S} + P_{атм} \):

\[ \frac{(\frac{(m_{поршня} + m_{гири}) g}{S} + P_{атм}) (0.8 V_1)}{(\frac{m_{поршня} g}{S} + P_{атм}) V_1} = \frac{T_2}{T_1} \]

Сократим \( V_1 \) и преобразуем:

\[ 0.8 \frac{\frac{(m_{поршня} + m_{гири}) g}{S} + P_{атм}}{\frac{m_{поршня} g}{S} + P_{атм}} = \frac{T_2}{T_1} \]

Обозначим \( P_{атм} = \rho_{воздуха} g h \) (где \( h \) - высота столба воздуха, но так как давлением пренебрегли, можно считать \( P_{атм} = 0 \) только если это указано, но там сказано "пренебречь атмосферным давлением" — значит \( P_{атм} = 0 \)!)

Если \( P_{атм} = 0 \), то:

\[ P_1 = \frac{m_{поршня} g}{S} \]

\[ P_2 = \frac{(m_{поршня} + m_{гири}) g}{S} \]

Подставим в уравнение:

\[ 0.8 \frac{\frac{(m_{поршня} + m_{гири}) g}{S}}{\frac{m_{поршня} g}{S}} = \frac{T_2}{T_1} \]

\[ 0.8 \frac{m_{поршня} + m_{гири}}{m_{поршня}} = \frac{T_2}{T_1} \]

\[ 0.8 \left( 1 + \frac{m_{гири}}{m_{поршня}} \right) = \frac{T_2}{T_1} \]

\[ 1 + \frac{m_{гири}}{m_{поршня}} = \frac{T_2}{0.8 T_1} \]

\[ \frac{m_{гири}}{m_{поршня}} = \frac{T_2}{0.8 T_1} - 1 \]

\[ m_{гири} = m_{поршня} \left( \frac{T_2}{0.8 T_1} - 1 \right) \]

Подставим значения:

\[ m_{гири} = 15 \text{ кг} \left( \frac{400 \text{ K}}{0.8 \cdot 300 \text{ K}} - 1 \right) \]

\[ m_{гири} = 15 \text{ кг} \left( \frac{400}{240} - 1 \right) \]

\[ m_{гири} = 15 \text{ кг} \left( \frac{5}{3} - 1 \right) \]

\[ m_{гири} = 15 \text{ кг} \left( \frac{2}{3} \right) = 10 \text{ кг} \]

Ответ: 10 кг.