В цилиндрическом сосуде с площадью дна S = 30 см², целиком погрузившись в воду, плавает кубик льда с вмороженным в него металлическим шариком. Объём льда в кубике V = 90 см³. Определи изменение уровня воды Δh, когда весь лёд растает. Плотность воды ρв = 1 г/см³, плотность льда ρл = 0,9 г/см³.

Дано:

• Площадь дна сосуда: $$S = 30\ \text{см}^2$$
• Объём льда: $$V_{\text{льда}} = 90\ \text{см}^3$$
• Плотность воды: $$\rho_{\text{в}} = 1\ \text{г/см}^3$$
• Плотность льда: $$\rho_{\text{л}} = 0,9\ \text{г/см}^3$$

Решение:

1. Найдем массу льда:\[ m_{\text{льда}} = \rho_{\text{л}} \times V_{\text{льда}} = 0,9\ \text{г/см}^3 \times 90\ \text{см}^3 = 81\ \text{г} \]
2. Когда лёд растает, он превратится в воду. Эта вода будет иметь ту же массу, что и лёд, но другую плотность. Найдем объём, который займет эта вода:\[ V_{\text{воды}} = \frac{m_{\text{льда}}}{\rho_{\text{в}}} = \frac{81\ \text{г}}{1\ \text{г/см}^3} = 81\ \text{см}^3 \]
3. Чтобы найти изменение уровня воды, нужно сравнить объём растаявшего льда (который превратился в воду) с объёмом, который занимал лёд, будучи погруженным. Но так как задача говорит, что лёд растаял, то есть превратился в воду, то изменение уровня воды будет связано с разницей объемов: объемом воды, который получился после таяния, и объемом, который занимал кубик льда.
4. Объём, который занимала вода до таяния льда, равен объёму погруженной части льда. По условию, лёд погружен целиком.
5. Найдём изменение уровня воды (Δh). Это разница в высоте столба воды, занятого растаявшим льдом, и объёма, который занимал кубик льда.\[ \Delta V = V_{\text{воды}} - V_{\text{льда}} = 81\ \text{см}^3 - 90\ \text{см}^3 = -9\ \text{см}^3 \]
6. Изменение уровня воды в сосуде:\[ \Delta h = \frac{\Delta V}{S} = \frac{-9\ \text{см}^3}{30\ \text{см}^2} = -0,3\ \text{см} \]
7. Так как изменение уровня воды отрицательное, это означает, что уровень воды понизится. Однако, в задаче спрашивается изменение уровня воды, когда весь лёд растает, а не когда он будет вынут. Когда лёд растает, он превратится в воду. Объём этой воды равен 81 см³. Этот объём будет добавлен к первоначальному объёму воды.
8. Нам нужно найти изменение высоты уровня воды. Это изменение происходит из-за того, что масса льда, когда он растает, превратится в воду.
9. Изменение объема столба воды = (объем воды после таяния) - (объем воды, вытесненный льдом).
10. Объем воды после таяния = 81 см³.
11. Объем воды, вытесненный льдом = 90 см³ (так как он погружен целиком).
12. Разница в объеме = 81 см³ - 90 см³ = -9 см³.
13. Изменение уровня воды:\[ \Delta h = \frac{\text{Изменение объема}}{\text{Площадь дна}} = \frac{-9\ \text{см}^3}{30\ \text{см}^2} = -0.3\ \text{см} \]
14. Ответ нужно выразить в миллиметрах.\[ -0.3\ \text{см} = -3\ \text{мм} \]
15. Если уровень воды понизится на 3 мм, значит, это и есть изменение уровня.

Ответ: -3