В учебной группе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в экзамене?

Решение:

Эта задача на комбинаторику, так как порядок выбора учеников в команду не важен. Мы ищем количество сочетаний из 32 элементов по 4.

Формула для нахождения числа сочетаний из \( n \) по \( k \) выглядит так:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае \( n = 32 \) (общее число учащихся) и \( k = 4 \) (размер команды).

Подставим значения в формулу:

\[ C_{32}^4 = \frac{32!}{4!(32-4)!} = \frac{32!}{4!28!} \]

Распишем факториалы:

\[ C_{32}^4 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 28!} \]

Сократим \( 28! \):

\[ C_{32}^4 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Выполним вычисления:

\[ C_{32}^4 = \frac{32}{4 \times 2} \times \frac{30}{3} \times 31 \times 29 \]
\[ C_{32}^4 = 4 \times 10 \times 31 \times 29 \]
\[ C_{32}^4 = 40 \times 899 \]
\[ C_{32}^4 = 35960 \]

Таким образом, существует 35960 способов сформировать команду из 4 человек.

Ответ: 35960