В угол АМВ вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Величина угла АМВ равна 24°. Найдите величину угла ОАВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Проведём радиусы \( OA \) и \( OB \) к точкам касания. Радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, \( \angle OAM = \angle OBM = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырёхугольник \( MAOB \). Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°.

\( \angle AOB + \angle OAM + \angle AMB + \angle OBM = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 24^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 204^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 204^{\circ} = 156^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle OAB \). \( OA = OB \) (радиусы окружности), значит, \( \triangle OAB \) — равнобедренный.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \)

\( \angle OAB = \angle OBA \) (углы при основании равнобедренного треугольника).

\( 2 \angle OAB + 156^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle OAB = 180^{\circ} - 156^{\circ} \)

\( 2 \angle OAB = 24^{\circ} \)

\( \angle OAB = \frac{24^{\circ}}{2} = 12^{\circ} \).

Ответ: 12.