В угол, равный 60°, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен 7 см. Найдите радиус большей окружности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим угол, который образует биссектриса с одной из сторон угла. Так как угол равен 60°, биссектриса делит его пополам, то есть образует угол 30° с каждой стороной.
2. Шаг 2: Рассмотрим центр меньшей окружности. Он лежит на биссектрисе угла. Радиус меньшей окружности (r = 7 см) перпендикулярен стороне угла в точке касания. В получившемся прямоугольном треугольнике (с гипотенузой, соединяющей вершину угла с центром окружности) угол напротив радиуса равен 30°.
3. Шаг 3: Используем синус угла 30°: \( \sin(30^{\circ}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{r}{\text{расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности}} \).
4. Шаг 4: Вычислим расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности: \( \text{расстояние} = \frac{r}{\sin(30^{\circ})} = \frac{7}{1/2} = 14 \) см.
5. Шаг 5: Пусть R — радиус большей окружности. Центр большей окружности также лежит на биссектрисе. Расстояние от вершины угла до центра большей окружности будет равно \( 14 + 7 + R \) (если считать от центра меньшей окружности до центра большей).
6. Шаг 6: Однако, более корректным будет рассмотреть расстояние от вершины угла до центра большей окружности как сумму расстояния до центра меньшей окружности, радиуса меньшей окружности и радиуса большей окружности, если они расположены последовательно от вершины. То есть, если центры окружностей лежат на биссектрисе, то расстояние от вершины до центра большей окружности равно \( 14 + 7 + R \) ? Нет, это неверно.
7. Шаг 6 (исправлено): Рассмотрим треугольник, образованный вершиной угла, центром меньшей окружности и точкой касания. Здесь \( \sin(30^{\circ}) = \frac{r}{d_1} \), где \( d_1 \) — расстояние от вершины до центра меньшей окружности. \( d_1 = \frac{7}{0.5} = 14 \) см.
8. Шаг 7: Пусть \( R \) — радиус большей окружности. Расстояние от вершины угла до центра большей окружности \( d_2 \) будет связано с \( R \) аналогично: \( \sin(30^{\circ}) = \frac{R}{d_2} \).
9. Шаг 8: Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: \( d_2 - d_1 = R + r \) (предполагая, что центры и точки касания лежат на одной прямой, что верно, если окружности касаются друг друга и сторон угла).
10. Шаг 9: Подставим \( d_1 = 14 \) и \( r = 7 \): \( d_2 - 14 = R + 7 \).
11. Шаг 10: Из \( d_2 = \frac{R}{\sin(30^{\circ})} = 2R \) (так как \( \sin(30^{\circ}) = 0.5 \) ).
12. Шаг 11: Подставляем \( d_2 = 2R \) в уравнение из Шага 9: \( 2R - 14 = R + 7 \).
13. Шаг 12: Решаем уравнение: \( 2R - R = 7 + 14 \) \( R = 21 \) см.

Ответ: 21 см