В угол С величиной 55° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О - центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( \angle C \) является углом между касательными к окружности, проведёнными из точки \( C \). Отрезки \( OA \) и \( OB \) являются радиусами, проведёнными в точки касания, поэтому \( OA \perp AC \) и \( OB \perp BC \). Следовательно, \( \angle OAC = 90° \) и \( \angle OBC = 90° \).

Рассмотрим четырёхугольник \( OACB \). Сумма углов в любом четырёхугольнике равна \( 360° \).

Значит, \( \angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360° \).

Подставим известные значения:

\( \angle AOB + 90° + 55° + 90° = 360° \)

\( \angle AOB + 235° = 360° \)

\( \angle AOB = 360° - 235° \)

\( \angle AOB = 125° \)

Ответ: 125°.