В угол С величиной 72° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О - центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Свойства касательных:

Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны. Следовательно, \( CA = CB \).

2. Треугольник СВА:

Так как \( CA = CB \), то \( \triangle CBA \) — равнобедренный. Углы при основании равны:

\( \angle CAB = \angle CBA = \frac{180° - \angle C}{2} = \frac{180° - 72°}{2} = \frac{108°}{2} = 54° \).

3. Радиусы и касательные:

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, \( \angle OAC = 90° \) и \( \angle OBC = 90° \).

4. Четырехугольник ОАСВ:

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

\( \angle AOB + \angle OAC + \angle C + \angle OBC = 360° \)

\( \angle AOB + 90° + 72° + 90° = 360° \)

\( \angle AOB + 252° = 360° \)

\( \angle AOB = 360° - 252° \)

\( \angle AOB = 108° \)

Ответ: 108