В угол С величиной 72° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О – центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Привет! Давай разберемся с этой геометрической задачкой.

Что нам дано?

• Угол C равен 72°.
• Окружность вписана в угол C и касается его сторон в точках A и B.
• O – центр окружности.

Что нужно найти?

• Величину угла AOB.

Решение:

Вспомним свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности:

1. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Это значит, что углы OAC и OBC равны 90°.
2. Отрезки от точки касания до точки пересечения касательных равны. В нашем случае CA = CB.
3. Треугольники OAC и OBC равны (по двум катетам и общему гипотенузе OC).
4. Луч OC является биссектрисой угла C.

Теперь рассмотрим четырехугольник ACBO:

• Сумма углов любого четырехугольника равна 360°.
• В четырехугольнике ACBO мы знаем три угла:
• Угол C = 72° (дан по условию).
• Угол OAC = 90° (радиус перпендикулярен касательной).
• Угол OBC = 90° (радиус перпендикулярен касательной).

Найдем угол AOB:

• Угол AOB = 360° - (Угол C + Угол OAC + Угол OBC)
• Угол AOB = 360° - (72° + 90° + 90°)
• Угол AOB = 360° - 252°
• Угол AOB = 108°

Ответ: 108°