В угол С величиной 75° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии.

• Что нам дано?
• Угол C равен 75°.
• Окружность вписана в угол C и касается его сторон в точках A и B.
• Центр окружности обозначен как O.
• Что нужно найти?
• Величину угла AOB.

Как будем решать?

1. Рассмотрим треугольник COB.
• CO и OB — это радиусы окружности.
• Значит, треугольник COB — равнобедренный (CO = OB).
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, угол OCB = угол OBC.
2. Найдем углы OCB и OBC.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• В нашем случае, угол C (он же OCB) равен 75°.
• Тогда угол OBC тоже будет равен 75°.
3. Найдем угол AOB.
• Угол AOB — это центральный угол, который опирается на дугу AB.
• Угол C — вписанный угол, который тоже опирается на дугу AB (точнее, на дугу, которая не содержит точки C).
• Важно! Есть свойство, что угол между касательными к окружности равен половине градусной меры дуги, заключенной между точками касания.
• Угол C = 75°.
• Угол AOB — это центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB.
• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
• Значит, градусная мера дуги AB равна 2 * (180° - 75°). Нет, это неверно.
• Правильно: угол между касательными CA и CB равен 75°.
• Рассмотрим четырехугольник ACOB.
• OA перпендикулярно AC (радиус к точке касания). Угол OAC = 90°.
• OB перпендикулярно BC (радиус к точке касания). Угол OBC = 90°.
• Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
• Угол AOB + Угол OAC + Угол ACB + Угол OBC = 360°.
• Угол AOB + 90° + 75° + 90° = 360°.
• Угол AOB + 255° = 360°.
• Угол AOB = 360° - 255° = 105°.

Ответ: 105