В угол С величиной 77° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный угол, опирающийся на дугу AB, равен половине центрального угла AOB, который опирается на ту же дугу.

Так как окружность вписана в угол C и касается сторон в точках A и B, то CA и CB — касательные к окружности.

Центральный угол AOB равен удвоенному углу, образованному отрезком CO и радиусом, проведенным в точку касания (например, OA). В треугольнике COA, угол COA = 90°.

Угол C = 77°.

В четырехугольнике CAOB, сумма углов равна 360°.

Углы CAO и CBO равны 90° (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Следовательно, \( \angle AOB + \angle ACB = 180^{\circ} \). Это свойство четырехугольника, в который вписана окружность и две стороны которого касаются окружности.

\( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle ACB \)

\( \angle AOB = 180^{\circ} - 77^{\circ} \)

\( \angle AOB = 103^{\circ} \)

Ответ: 103°.