В угол С вписана окружность с центром О, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол AOB, если угол С равен 45°.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии вместе.

Условие:

У нас есть угол

\( ∠ C \)

, и в него вписана окружность. Центр окружности — точка

\( O \)

. Окружность касается сторон угла в точках

\( A \)

и

\( B \)

. Мы знаем, что

\( ∠ C = 45^{\circ} \)

. Нужно найти величину угла

\( ∠ AOB \)

.

Что мы знаем про такие фигуры?

Когда окружность вписана в угол, радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны сторонам угла. Это значит, что

\( OA ⊥ AC \)

и

\( OB ⊥ BC \)

, где

\( AC \)

и

\( BC \)

— это стороны угла

\( C \)

.

Точки

\( A \)

и

\( B \)

лежат на окружности, а

\( O \)

— ее центр, значит,

\( OA \)

и

\( OB \)

— это радиусы окружности. Поэтому

\( OA = OB \)

.

Рассмотрим четырехугольник

\( AOCB \)

. Углы

\( ∠ OAC \)

и

\( ∠ OBC \)

равны 90 градусов, потому что радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360 градусов.

Значит, в четырехугольнике

\( AOCB \)

:

\( ∠ C + ∠ OAC + ∠ OBC + ∠ AOB = 360^{\circ} \)

Подставим известные значения:

\( 45^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + ∠ AOB = 360^{\circ} \)

\( 225^{\circ} + ∠ AOB = 360^{\circ} \)

Теперь найдем

\( ∠ AOB \)

:

\( ∠ AOB = 360^{\circ} - 225^{\circ} \)

\( ∠ AOB = 135^{\circ} \)

Ответ:

Угол AOB равен 135°.