В угол величиною $$\alpha$$ с вершиной в точке D вписана окружность с центром в точке O. Точки A и B — её общие точки со сторонами угла. Треугольник ABC вписан в эту окружность так, что точки C и D расположены по разные стороны прямой AB. Выберите из предложенных вариантов выражения, соответствующие следующим углам.

Решение:

Нам нужно сопоставить обозначения углов с их величинами, основываясь на геометрии вписанной окружности и центральных/вписанных углах.

• Угол ADB: Этот угол является вписанным углом, опирающимся на дугу AB. По условию, он равен $$\alpha$$.
• Угол ADO: Точка O - центр окружности. OD - радиус. Треугольник OAD - равнобедренный (OA = OD = радиус). Угол OAD = Углу ODA (т.е. Угол ADO). Сумма углов в треугольнике ADO равна 180 градусов. Угол AOD = 180 - (2 * Угол ADO). Угол ADO = $$\alpha/2$$ (т.к. треугольник OAD равнобедренный и угол при вершине D равен $$\alpha$$, то углы при основании OA и OD равны $$\alpha/2$$).
• Угол AOB: Это центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB, что и вписанный угол ADB. Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Угол AOB = $$2 \times$$ Угол ACB. Но нам нужно выразить его через $$\alpha$$. Угол ADB = $$\alpha$$. В равнобедренном треугольнике OAD, угол OAD = угол ODA = $$\alpha/2$$. В равнобедренном треугольнике OBD, угол OBD = угол ODB = $$\alpha/2$$. Значит, угол ABD = $$\alpha/2$$ и угол BAD = $$\alpha/2$$. В треугольнике ABC, если угол ADB = $$\alpha$$, то угол AOB = $$2 \times$$ Угол ACB. Так как точки C и D расположены по разные стороны от AB, то угол ACB = $$\alpha$$. Тогда угол AOB = $$2 \times \alpha$$. Однако, на диаграмме угол ADB помечен как $$\alpha$$. Если ADB = $$\alpha$$, и OAD = ODA, OBD = ODB, то в треугольнике AOD, угол AOD = $$180 - 2 imes ( ext{угол } ODA)$$. В треугольнике BOD, угол BOD = $$180 - 2 imes ( ext{угол } ODB)$$. Так как угол ADB = $$\alpha$$, то ОDA + ODB = $$\alpha$$. Обозначим угол ODA = $$x$$ и угол ODB = $$y$$, тогда $$x+y = \alpha$$. Угол AOB - центральный угол, угол ACB - вписанный. Угол ACB = $$(180 - (x+y))/2$$? Это не так. Вернемся к тому, что ADB = $$\alpha$$. Угол ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен 2 * ACB. Дуга AB, на которую опирается угол ACB, равна $$2 imes$$ ACB. Угол AOB = $$2 imes$$ ACB. В треугольнике ADO, OA=OD, значит угол OAD = угол ODA = $$\alpha/2$$. Аналогично в треугольнике BDO, OB=OD, значит угол OBD = угол ODB = $$\alpha/2$$. Тогда угол ADB = угол ODA + угол ODB = $$\alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$$. Это совпадает с условием. Центральный угол AOB = $$2 imes$$ Угол ACB. Угол ACB - вписанный, опирается на дугу AB. Угол ADB = $$\alpha$$. Угол AOB = $$2 imes ext{Угол ACB}$$. Угол ACB = $$\alpha$$. Тогда угол AOB = $$2 imes \alpha$$. В таблице указано 180 - $$\alpha$$. Проверим. Если Угол AOB = $$180 - \alpha$$, то Угол ACB = $$(180 - \alpha)/2 = 90 - \alpha/2$$. Это тоже не совпадает. Смотрим на рисунок: Угол ADB = $$\alpha$$. OA=OB=OC=OD (радиусы). Треугольник AOD равнобедренный (OA=OD), поэтому $$\angle OAD = \angle ODA = \alpha/2$$. Треугольник BOD равнобедренный (OB=OD), поэтому $$\angle OBD = \angle ODB = \alpha/2$$. Таким образом, $$\angle ADB = \angle ODA + \angle ODB = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$$. Это подтверждает условие. Теперь рассмотрим угол AOB. Это центральный угол, опирающийся на дугу AB. Величина дуги AB равна $$2 imes ext{Угол ACB}$$. Угол AOB = $$2 imes ext{Угол ACB}$$. Вписанный угол ACB опирается на дугу AB. Центральный угол AOB также опирается на дугу AB. $$\angle AOB = 2 \times \angle ACB$$. У нас $$\angle ADB = \alpha$$. Угол AOB - смежный с углом, образованным касательной и хордой AD. Это не поможет. Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB (радиусы), значит он равнобедренный. Угол AOB = $$180^{\circ} - 2 imes ext{Угол OAB}$$. Угол OAB = $$\angle OAD + \angle DAB$$. Мы знаем, что $$\angle OAD = \alpha/2$$. $$\angle DAB$$ - это часть $$\angle CAB$$. Так как ABCD - вписанный четырехугольник, то $$\angle ACB + \angle ADB = 180^{\circ}$$. Если $$\angle ADB = \alpha$$, то $$\angle ACB = 180^{\circ} - \alpha$$. Тогда центральный угол $$\angle AOB = 2 imes ext{Угол ACB} = 2 imes (180^{\circ} - \alpha) = 360^{\circ} - 2\alpha$$. Это не совпадает с вариантами. Давайте предположим, что на рисунке угол ADB = $$\alpha$$ - это угол между касательной и хордой, проведенной из точки D. Но D - это вершина угла, а не точка касания. Вернемся к тому, что ODA = $$\alpha/2$$ и ODB = $$\alpha/2$$. Центральный угол AOB = $$2 imes$$ Угол ACB. Угол ACB - вписанный угол. Опирается на дугу AB. Угол ADB = $$\alpha$$. Это угол, образованный хордами AD и BD. Если Угол ADB = $$\alpha$$, и ODA = $$\alpha/2$$, ODB = $$\alpha/2$$. Угол AOB = $$360 - ( ext{угол AOD} + ext{угол BOD})$$. Угол AOD = $$180 - 2 imes \angle ODA = 180 - 2 imes \alpha/2 = 180 - \alpha$$. Угол BOD = $$180 - 2 imes \angle ODB = 180 - 2 imes \alpha/2 = 180 - \alpha$$. Тогда AOB = $$360 - (180 - \alpha) - (180 - \alpha) = 360 - 360 + 2\alpha = 2\alpha$$. Но в таблице указано 180 - $$\alpha$$. Значит, я неверно интерпретирую рисунок или условие. Пересмотр: Угол ADB = $$\alpha$$. Треугольники OAD и OBD равнобедренные. $$\angle ODA = \angle OAD = x$$, $$\angle ODB = \angle OBD = y$$. Тогда $$\angle ADB = x+y = \alpha$$. Угол AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB. Угол ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. $$\angle AOB = 2 imes ext{Угол ACB}$$. Также, $$\angle AOB = ext{Угол AOD} + ext{Угол BOD}$$. В равнобедренном $$\triangle AOD$$, $$\angle AOD = 180 - 2x$$. В равнобедренном $$\triangle BOD$$, $$\angle BOD = 180 - 2y$$. $$\angle AOB = (180 - 2x) + (180 - 2y) = 360 - 2(x+y) = 360 - 2\alpha$$. Это центральный угол. Вписанный угол ACB = $$(\angle AOB)/2 = (360 - 2\alpha)/2 = 180 - \alpha$$. Это не совпадает с вариантами. Посмотрим на варианты ответов: $$\angle ADB = \alpha$$. $$\angle ADO = \alpha/2$$. $$\angle ACB = 90 - \alpha/2$$. $$\angle AOB = 180 - \alpha$$. Если $$\angle ACB = 90 - \alpha/2$$, то $$\angle AOB = 2 imes (90 - \alpha/2) = 180 - \alpha$$. Это совпадает. Если $$\angle AOB = 180 - \alpha$$, то $$\angle ACB = 90 - \alpha/2$$. Верно. Теперь проверим $$\angle ADB = \alpha$$. Если $$\angle ODA = \alpha/2$$ и $$\angle ODB = \alpha/2$$, то $$\angle ADB = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$$. Верно. Значит, правильная комбинация: 1. $$\angle ADB = \alpha$$. 2. $$\angle ADO = \alpha/2$$. 3. $$\angle AOB = 180^{\circ} - \alpha$$. 4. $$\angle ACB = 90^{\circ} - \alpha/2$$.
• Угол ACB: Этот угол является вписанным и опирается на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $$\angle AOB = 180^{\circ} - \alpha$$. Следовательно, вписанный угол $$\angle ACB = \frac{1}{2} imes ext{Угол AOB} = rac{1}{2} imes (180^{\circ} - \alpha) = 90^{\circ} - rac{\alpha}{2}$$.

Соответствие:

• $$ ext{LADB} ightarrow oldsymbol{\alpha}$$
• $$ ext{LADO} ightarrow oldsymbol{\frac{\alpha}{2}}$$
• $$ ext{LAOB} ightarrow oldsymbol{180^{\circ}-\alpha}$$
• $$ ext{LACВ} ightarrow oldsymbol{90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}}$$

Ответ: