В угол вписаны две окружности. Первая имеет радиус 1 и касается одной стороны угла в точке М, вторая имеет радиус √5 и касается другой стороны угла в точке К. Найдите отношение хорд, которые эти окружности высекают на прямой МК.

Пусть угол равен 2α. Радиусы окружностей r1 = 1 и r2 = √5. Расстояния от вершины угла до точек касания M и K равны OM = r1/sin(α) и OK = r2/sin(α). Расстояние от вершины угла до точки касания меньшей окружности на прямой MK равно d1. Расстояние от вершины угла до точки касания большей окружности на прямой MK равно d2. По теореме о касательной и пресекающей, квадрат касательной равен произведению отрезков секущей. Для меньшей окружности, касательная от вершины угла до точки касания равна OM. Хорда, высекаемая окружностью на прямой MK, имеет длину 2 * sqrt(OM^2 - d1^2). Аналогично для большей окружности. Используя свойства подобных треугольников и теорему Пифагора, можно найти отношение длин хорд. Отношение длин хорд равно отношению радиусов. MX/KY = r1/r2 = 1/√5.