В Университете Сказочного Содружества с прошлого тысячелетия трудятся сто неизменных сотрудников на ста различных, но фиксированных должностях. Да-да, сотрудники Университета живут неограниченно долго и также долго могут работать. И, разумеется, любой сотрудник может работать на любой должности. В этом году в Университете установили правило, что сотрудник, совершивший в течение года на работе хоть одну маленькую оплошность, в следующем году назначается на другую должность, а на ту, на которой им была совершена оплошность, более никогда-никогда назначен быть не может. При этом сотрудники, которые оплошностей не совершали, обязательно остаются работать на своих прежних должностях. Известно, что каждый год ровно один сотрудник Университета совершает на работе оплошность. Через какое наибольшее количество лет может сложиться такая ситуация, что установленное в этом году правило не сможет быть выполнено?

У каждого сотрудника есть 100 возможных должностей. После оплошности на одной из них сотрудник больше не может вернуться на эту должность, поэтому при каждом следующем нарушении ему нужна ещё одна должность, на которой он раньше не совершал оплошностей.

Один сотрудник может совершить оплошность на каждой из 100 должностей. После оплошности на последней из них ему уже некуда перейти: все остальные должности запрещены для назначения. Значит, его 100-я оплошность вызовет невозможность выполнить правило на следующий год.

Чтобы отложить эту ситуацию как можно дольше, можно распределить оплошности поровну: каждый из 100 сотрудников совершает по 99 оплошностей. Это занимает \(100 \cdot 99 = 9900\) лет. В следующем, 9901-м году один из сотрудников совершит оплошность на своей последней ещё не запрещённой должности и не сможет быть назначен на другую.

Ответ: правило впервые может оказаться невыполнимым в 9901-м году.