В. Упростите: 1) $\dfrac{\sqrt{a^2b^2}-4ab}{a^2b^2}\cdot\dfrac{\sqrt{a^2b}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{b^2}}{a}$; 2) $\left(\dfrac{1}{m-\sqrt{nm}}+\dfrac{1}{m+\sqrt{nm}}\right)\dfrac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: В. Упростите: 1) $\dfrac{\sqrt{a^2b^2}-4ab}{a^2b^2}\cdot\dfrac{\sqrt{a^2b}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{b^2}}{a}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Учитываем, что $\sqrt{a^2b^2}=|ab|$, $\sqrt{a^2b}=|a|\sqrt b$, а $\sqrt{b^2}=|b|$. Поэтому при допустимых значениях переменных выражение упрощается с учётом знаков переменных. Если в задаче предполагаются положительные $a,b$, то:
$\dfrac{ab-4ab}{a^2b^2}\cdot\dfrac{a\sqrt b}{2}\cdot\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3ab}{a^2b^2}\cdot\dfrac{a\sqrt b}{2}\cdot\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3}{2\sqrt b}$.
Ответ при $a,b>0$: $-\dfrac{3}{2\sqrt b}$.
Складываем дроби, домножая на сопряжённое выражение:
$\dfrac{1}{m-\sqrt{nm}}+\dfrac{1}{m+\sqrt{nm}}=\dfrac{2m}{m^2-nm}=\dfrac{2}{m-n}$.
Разложим разность кубов: $m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$, значит вторая дробь равна $m-n$.
Произведение: $\dfrac{2}{m-n}(m-n)=2$.
Ответ: 2.

В. Упростите: 1) \(\dfrac{\sqrt{a^2b^2}-4ab}{a^2b^2}\cdot\dfrac{\sqrt{a^2b}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{b^2}}{a}\); 2) \(\left(\dfrac{1}{m-\sqrt{nm}}+\dfrac{1}{m+\sqrt{nm}}\right)\dfrac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}\).