В усеченный конус вписана правильная усеченная треугольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усеченного конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды. (Задача 631а учебника.)

Решение:

1. Найдем сторону основания треугольной пирамиды.

Пусть правильная усеченная пирамида АВСА₁В₁С₁ вписана в усеченный конус с осью ОО₁. По условию задачи OA = 2 см (радиус меньшего основания), O₁A₁ = 5 см (радиус большего основания), OO₁ = 4 см (высота).

1) Радиус OA окружности, описанной около правильного треугольника ABC, выражается через сторону AB формулой:

• \[ OA = \frac{AB}{\sqrt{3}} \]

Отсюда находим сторону AB:

• \[ AB = OA \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \text{ см} \]

Площадь основания ABC:

• \[ S_{ABC} = \frac{AB^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2 \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12 \sqrt{3}}{4} = 3 \sqrt{3} \text{ (см}^2 \text{)} \]

Аналогично находим сторону A₁B₁ большего основания:

• \[ O_1A_1 = \frac{A_1B_1}{\sqrt{3}} \Rightarrow A_1B_1 = O_1A_1 \cdot \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} \text{ см} \]

Площадь основания A₁B₁C₁:

• \[ S_{A_1B_1C_1} = \frac{A_1B_1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(5 \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{75 \sqrt{3}}{4} \text{ (см}^2 \text{)} \]

2. Найдем апофему боковой грани.

Апофема – это высота боковой грани, являющейся трапецией. Проведем AH ⊥ O₁A₁. В прямоугольном треугольнике АНА₁ (где H – точка на O₁A₁, такая что AH || OO₁), AH = OO₁ = 4 см.

Найдем проекцию OA₁ на O₁A₁: O₁H = O₁A₁ - OA = 5 - 2 = 3 см.

Найдем апофему AA₁ (это боковая сторона трапеции):

• \[ AA_1 = \sqrt{AH^2 + O_1H^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ (см)} \]

3. Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей трех боковых граней-трапеций.

• \[ S_{бок} = 3 \cdot S_{AA_1B_1B} \]

Площадь одной боковой грани (трапеции ABB₁A₁):

• \[ S_{AA_1B_1B} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{2 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \frac{7 \sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \frac{35 \sqrt{3}}{2} \text{ (см}^2 \text{)} \]

Площадь всей боковой поверхности:

• \[ S_{бок} = 3 \cdot \frac{35 \sqrt{3}}{2} = \frac{105 \sqrt{3}}{2} \text{ (см}^2 \text{)} \]

4. Найдем площадь полной поверхности.

Площадь полной поверхности равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности.

• \[ S_{полн} = S_{ABC} + S_{A_1B_1C_1} + S_{бок} \]
• \[ S_{полн} = 3 \sqrt{3} + \frac{75 \sqrt{3}}{4} + \frac{105 \sqrt{3}}{2} \]

Приведем все к общему знаменателю 4:

• \[ S_{полн} = \frac{12 \sqrt{3}}{4} + \frac{75 \sqrt{3}}{4} + \frac{210 \sqrt{3}}{4} = \frac{(12 + 75 + 210) \sqrt{3}}{4} = \frac{297 \sqrt{3}}{4} \text{ (см}^2 \text{)} \]

Ответ:

Площадь полной поверхности пирамиды равна \[ \frac{297 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \text{