В узлах клетчатой сетки отметили две точки: А и В (рис.). Отобразите геометрическое место точек М, находящихся в узлах сетки и образующих прямой угол AMB.

Решение:

Точка M должна находиться на окружности, построенной на отрезке AB как на диаметре. Это следует из теоремы о вписанном угле, опирающемся на диаметр. Такой угол всегда прямой.

Чтобы построить окружность, найдем середину отрезка AB. Это будет центр окружности. Расстояние от центра до точки A или B будет радиусом окружности.

На рисунке видно, что расстояние между точками A и B равно 2 клеткам по горизонтали и 1 клетке по вертикали. Середина отрезка AB будет находиться на 1 клетку вправо и на 0.5 клетки вниз от точки A.

Так как нас интересуют только точки, находящиеся в узлах сетки, нужно найти все такие точки на окружности.

Определим радиус окружности. Пусть координаты точки A будут (0, 0), тогда координаты точки B будут (2, 1). Центр окружности O будет иметь координаты (1, 0.5). Радиус R будет равен расстоянию от O до A или B. R = \(\sqrt{(1-0)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25}\)

Теперь нужно найти все точки M(x, y) в узлах сетки, которые находятся на этом расстоянии от центра O(1, 0.5).

Точки M, образующие прямой угол AMB:

• Точка над A
• Точка под B

Ответ: Две точки: одна над точкой A, вторая под точкой B.