В9, В11 Шар + цилиндр, конус, прямоугольный параллелепипед Вариант 2 1. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 90√2. Найдите образующую конуса. 2. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 114. Найдите площадь поверхности шара. 3. Вершина А куба ABCDA1B1C1D1co стороной 0,9 является центром сферы, проходящей через точку А1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину Ѕ/п 4. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в одиннадцать раз? 5. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 9261. Найдите радиус сферы. 6. Площадь большого круга шара равна 38. Найдите площадь поверхности шара 7. Радиусы трех шаров равны 15, 20 и 25. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов. 8. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 56. Найдите объем цилиндра. 9. Куб вписан в шар радиуса 5√3. Найдите объем куба. 10. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 34. Найдите объем шара.

Привет! Давай решим эти задачи по геометрии. Уверена, у тебя все получится!

Задача 1

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 90√2. Найдите образующую конуса.

Решение:

Так как центр сферы находится в центре основания конуса, то радиус сферы является радиусом основания конуса. Обозначим радиус основания конуса как r, а образующую конуса как l. Также образующая конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания и высотой конуса. Угол между образующей и радиусом основания равен 45 градусам, значит, высота конуса равна радиусу основания (h = r).

По условию радиус сферы равен \( r = 90\sqrt{2} \). По теореме Пифагора, \( l^2 = r^2 + h^2 \), где l - образующая конуса.

Так как \( h = r \), то \( l^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 \).

Подставляем значение радиуса: \( l^2 = 2 \cdot (90\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 90^2 \cdot 2 = 4 \cdot 90^2 \).

Тогда \( l = \sqrt{4 \cdot 90^2} = 2 \cdot 90 = 180 \).

Ответ: 180

Задача 2

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 114. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:

Пусть радиус шара равен r, тогда радиус основания цилиндра также равен r, а высота цилиндра равна 2r.

Площадь поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и двух площадей оснований: \( S_{цил} = 2\pi r h + 2\pi r^2 \). Подставляем h = 2r: \( S_{цил} = 2\pi r (2r) + 2\pi r^2 = 4\pi r^2 + 2\pi r^2 = 6\pi r^2 \).

Площадь поверхности шара равна \( S_{шара} = 4\pi r^2 \).

По условию \( S_{цил} = 114 \), то есть \( 6\pi r^2 = 114 \). Отсюда \( \pi r^2 = \frac{114}{6} = 19 \).

Тогда площадь поверхности шара равна \( S_{шара} = 4\pi r^2 = 4 \cdot 19 = 76 \).

Ответ: 76

Задача 3

Вершина A куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 0,9 является центром сферы, проходящей через точку A1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину Ѕ/п

Решение:

Радиус сферы равен диагонали куба, то есть \(R = AA_1 = 0.9\).

Площадь сферы равна \(4\pi R^2\).

Так как вершина куба является центром сферы, то внутри куба находится 1/8 часть сферы.

Площадь части сферы, содержащейся внутри куба: \(S = \frac{1}{8} \cdot 4 \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (0.9)^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 0.81 = 0.405 \pi \).

В ответе запишите величину \(S/\pi = \frac{0.405 \pi}{\pi} = 0.405\).

Ответ: 0.405

Задача 4

Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в одиннадцать раз?

Решение:

Объем шара равен \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).

Если радиус увеличить в 11 раз, то новый радиус будет равен \(11r\).

Новый объем шара: \(V_{new} = \frac{4}{3}\pi (11r)^3 = \frac{4}{3}\pi (11^3 r^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot 1331 r^3 = 1331 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3\).

Отношение нового объема к старому объему: \(\frac{V_{new}}{V} = \frac{1331 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 1331\).

Ответ: 1331

Задача 5

Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 9261. Найдите радиус сферы.

Решение:

Так как параллелепипед описан около сферы, то он является кубом. Объем куба равен \(a^3\), где a - сторона куба.

По условию объем куба равен 9261, то есть \(a^3 = 9261\). Отсюда \(a = \sqrt[3]{9261} = 21\).

Радиус сферы равен половине стороны куба, то есть \(r = \frac{a}{2} = \frac{21}{2} = 10.5\).

Ответ: 10.5

Задача 6

Площадь большого круга шара равна 38. Найдите площадь поверхности шара

Решение:

Площадь большого круга шара равна \(\pi r^2\), где r - радиус шара.

По условию \(\pi r^2 = 38\).

Площадь поверхности шара равна \(4\pi r^2\).

Подставляем значение \(\pi r^2\): \(S = 4\pi r^2 = 4 \cdot 38 = 152\).

Ответ: 152

Задача 7

Радиусы трех шаров равны 15, 20 и 25. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Решение:

Объем шара равен \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).

Объемы трех шаров: \(V_1 = \frac{4}{3}\pi (15^3)\), \(V_2 = \frac{4}{3}\pi (20^3)\), \(V_3 = \frac{4}{3}\pi (25^3)\).

Сумма объемов: \(V = V_1 + V_2 + V_3 = \frac{4}{3}\pi (15^3 + 20^3 + 25^3) = \frac{4}{3}\pi (3375 + 8000 + 15625) = \frac{4}{3}\pi (27000)\).

Объем нового шара: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).

Приравниваем объемы: \(\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (27000)\). Отсюда \(r^3 = 27000\), следовательно, \(r = \sqrt[3]{27000} = 30\).

Ответ: 30

Задача 8

Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 56. Найдите объем цилиндра.

Решение:

Пусть радиус шара равен r. Тогда радиус основания цилиндра равен r, а высота цилиндра равна 2r.

Объем шара равен \(V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = 56\). Отсюда \(\pi r^3 = \frac{3 \cdot 56}{4} = 3 \cdot 14 = 42\).

Объем цилиндра равен \(V_{цил} = \pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3 = 2 \cdot 42 = 84\).

Ответ: 84

Задача 9

Куб вписан в шар радиуса 5√3. Найдите объем куба.

Решение:

Радиус шара равен половине диагонали куба. Обозначим сторону куба как a. Тогда диагональ куба равна \(a\sqrt{3}\).

По условию радиус шара равен \(5\sqrt{3}\), то есть \(\frac{a\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\). Отсюда \(a = \frac{2 \cdot 5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10\).

Объем куба равен \(a^3 = 10^3 = 1000\).

Ответ: 1000

Задача 10

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 34. Найдите объем шара.

Решение:

Пусть радиус основания конуса и радиус шара равны r. Высота конуса равна диаметру шара, то есть 2r.

Объем конуса равен \(V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 (2r) = \frac{2}{3}\pi r^3 = 34\). Отсюда \(\pi r^3 = \frac{3 \cdot 34}{2} = 3 \cdot 17 = 51\).

Объем шара равен \(V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \cdot 51 = 4 \cdot 17 = 68\).

Ответ: 68

Ответ:

Ты молодец! У тебя всё получится!