В вариант. 1. В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода устанавливается утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как сегодня. 1 июля погода отличная. С какой вероятностью 4 июля будет хорошая погода? (дерево вероятностей). 2. Тарелки производятся на двух фабриках. При этом 45% выпускает первая фабрика, а 55% - вторая. Процент брака соответственно 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно купленная тарелка будет бракованная? 3. В магазине 10 видов колбасы и 8 видов сосисок. Нужно выбрать 3 вида колбасы и 2 вида сосисок. Сколькими способами можно это сделать? 4. Вычислите: а) + A+P2; 6) (C+C): A 5. Раскройте скобки: а) (3x−1)4; 6) (а+4b)4 2 5. Найдите член разложения 3х+ не содержащий х.

Привет! Сейчас помогу тебе разобраться с этими задачками. Уверена, вместе мы всё решим!

1. Вероятность погоды

Смотри, тут всё просто: нам нужно рассмотреть все возможные варианты развития погоды с 1 по 4 июля, учитывая, что 1 июля погода отличная, и вероятность сохранения типа погоды на следующий день равна 0.7.

Дерево вероятностей выглядит так:

• 1 июля: Отличная (1.0)
• 2 июля: Отличная (0.7), Хорошая (0.3)
• 3 июля:
  • Отличная → Отличная (0.7 * 0.7 = 0.49)
  • Отличная → Хорошая (0.7 * 0.3 = 0.21)
  • Хорошая → Отличная (0.3 * 0.3 = 0.09)
  • Хорошая → Хорошая (0.3 * 0.7 = 0.21)
• 4 июля:

Теперь посмотрим на все пути, которые приводят к хорошей погоде 4 июля:

• Отл-Отл-Отл-Хор: 0.7 * 0.7 * 0.3 = 0.1029
• Отл-Отл-Хор-Хор: 0.7 * 0.3 * 0.7 = 0.147
• Отл-Хор-Отл-Хор: 0.3 * 0.3 * 0.3 = 0.027
• Отл-Хор-Хор-Хор: 0.3 * 0.7 * 0.7 = 0.147
• Отл-Отл-Хор-Отл: 0.7 * 0.3 * 0.3 = 0.063
• Отл-Хор-Хор-Отл: 0.3 * 0.7 * 0.3 = 0.063
• Отл-Хор-Отл-Отл: 0.3 * 0.3 * 0.7 = 0.063

Суммируем вероятности:

0.1029 + 0.147 + 0.027 + 0.147 + 0.063 + 0.063 + 0.063 = 0.6129

Ответ: Вероятность того, что 4 июля будет хорошая погода, составляет 0.6129.

2. Вероятность бракованной тарелки

Разбираемся:

• Вероятность, что тарелка произведена на первой фабрике: 0.45
• Вероятность, что тарелка произведена на второй фабрике: 0.55
• Вероятность брака на первой фабрике: 0.03
• Вероятность брака на второй фабрике: 0.02

Формула полной вероятности:

P(брак) = P(1 фабрика) * P(брак | 1 фабрика) + P(2 фабрика) * P(брак | 2 фабрика)

P(брак) = 0.45 * 0.03 + 0.55 * 0.02 = 0.0135 + 0.011 = 0.0245

Ответ: Вероятность того, что случайно купленная тарелка будет бракованная, составляет 0.0245 или 2.45%.

3. Выбор колбасы и сосисок

Логика такая:

• Число способов выбрать 3 вида колбасы из 10: C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120
• Число способов выбрать 2 вида сосисок из 8: C(8, 2) = 8! / (2! * 6!) = (8 * 7) / (2 * 1) = 28

Общее число способов:

120 * 28 = 3360

Ответ: Выбрать 3 вида колбасы и 2 вида сосисок можно 3360 способами.

4. Вычисление

а) \[C_{10}^3 + A_{10}^3 + P_2\]

Мы уже знаем, что \(C_{10}^3 = 120\). Теперь вычислим \(A_{10}^3\) и \(P_2\).

\[A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\]

\[P_2 = 2! = 2 \times 1 = 2\]

Суммируем все значения:

\[120 + 720 + 2 = 842\]

б) \[(C_6^2 + C_6^3) \cdot A_6^2\]

Вычислим \(C_6^2\), \(C_6^3\) и \(A_6^2\):

\[C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\]

\[C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\]

\[A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = 6 \times 5 = 30\]

Теперь подставим значения в исходное выражение:

\[(15 + 20) \cdot 30 = 35 \cdot 30 = 1050\]

5. Раскрытие скобок

a) \((3x - 1)^4\)

Используем бином Ньютона: \((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k\)

Для \((3x - 1)^4\):

\[(3x - 1)^4 = C_4^0 (3x)^4 (-1)^0 + C_4^1 (3x)^3 (-1)^1 + C_4^2 (3x)^2 (-1)^2 + C_4^3 (3x)^1 (-1)^3 + C_4^4 (3x)^0 (-1)^4\]

Вычислим биномиальные коэффициенты:

\[C_4^0 = 1, \quad C_4^1 = 4, \quad C_4^2 = 6, \quad C_4^3 = 4, \quad C_4^4 = 1\]

Подставим значения:

\[(3x - 1)^4 = 1 \cdot (81x^4) \cdot 1 + 4 \cdot (27x^3) \cdot (-1) + 6 \cdot (9x^2) \cdot 1 + 4 \cdot (3x) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1\]

\[(3x - 1)^4 = 81x^4 - 108x^3 + 54x^2 - 12x + 1\]

б) \((a + 4b)^4\)

Используем бином Ньютона:

\[(a + 4b)^4 = C_4^0 a^4 (4b)^0 + C_4^1 a^3 (4b)^1 + C_4^2 a^2 (4b)^2 + C_4^3 a^1 (4b)^3 + C_4^4 a^0 (4b)^4\]

Подставим значения:

\[(a + 4b)^4 = 1 \cdot a^4 \cdot 1 + 4 \cdot a^3 \cdot (4b) + 6 \cdot a^2 \cdot (16b^2) + 4 \cdot a \cdot (64b^3) + 1 \cdot 1 \cdot (256b^4)\]

\[(a + 4b)^4 = a^4 + 16a^3b + 96a^2b^2 + 256ab^3 + 256b^4\]

6. Член разложения, не содержащий x

Общий член разложения имеет вид:

\[T_{k+1} = C_6^k (3x)^{6-k} \left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^k = C_6^k 3^{6-k} x^{6-k} 2^k x^{-\frac{k}{2}}\]

Для того чтобы член не содержал \(x\), показатель степени при \(x\) должен быть равен 0:

\[6 - k - \frac{k}{2} = 0\]

\[6 = \frac{3}{2}k\]

\[k = 4\]

Подставим \(k = 4\) в общий член:

\[T_{4+1} = C_6^4 3^{6-4} 2^4 = C_6^4 3^2 2^4\]

\[C_6^4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15\]

\[T_5 = 15 \cdot 9 \cdot 16 = 2160\]

Ответ:Член разложения, не содержащий x: 2160.