В вершины В прямоугольника АВСД со сторонами ВС=3см и АВ-6см к его плоскости Ведён перпендикуляр ВМ-3\sqrt{3} √3 см. Найдите площадь треугольника ДСМ.

Ответ: 9 см²

Разбираемся:

1. Дано: Прямоугольник ABCD со сторонами BC = 3 см и AB = 6 см. BM перпендикулярен плоскости ABCD, BM = 3\sqrt{3} см.
2. Найти площадь треугольника DCM.
3. Поскольку BM перпендикулярен плоскости ABCD, то треугольники BMC и BMA являются прямоугольными.
4. Рассмотрим треугольник BMC: BC = 3 см, BM = 3\sqrt{3} см. По теореме Пифагора находим MC: MC² = BM² + BC² = (3\sqrt{3})² + 3² = 27 + 9 = 36, следовательно, MC = 6 см.
5. Рассмотрим треугольник ABM: AB = 6 см, BM = 3\sqrt{3} см. По теореме Пифагора находим AM: AM² = BM² + AB² = (3\sqrt{3})² + 6² = 27 + 36 = 63, следовательно, AM = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} см.
6. Рассмотрим треугольник CDM: CD = 6 см. Найдем высоту MH этого треугольника, проведённую к стороне CD. Так как BM перпендикулярен плоскости ABCD, то BM перпендикулярен CD. Следовательно, треугольник BMD прямоугольный.
7. Находим MD: MD² = BM² + BD² = (3\sqrt{3})² + (6² + 3²) = 27 + 45 = 72, следовательно, MD = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} см.
8. Опустим перпендикуляр MH из точки M на сторону CD. Тогда MH = BM = 3\sqrt{3} см.
9. Площадь треугольника DCM равна: S = 1/2 * CD * MH = 1/2 * 6 * 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} см².
10. Используем условие BM = 3\sqrt{3}√3 см. Тогда BM = 3 * 3 = 9 см.
11. MC² = BM² + BC² = 9² + 3² = 81 + 9 = 90, следовательно, MC = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} см.
12. AM² = BM² + AB² = 9² + 6² = 81 + 36 = 117, следовательно, AM = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} см.
13. MH = BM = 9 см.
14. Площадь треугольника DCM равна: S = 1/2 * CD * MH = 1/2 * 6 * 9 = 27 см².
15. В условии ошибка: BM = 3\sqrt{3}√3 = 9 см.
16. Так как ВМ перпендикулярно плоскости АВСD, то ВМ перпендикулярно СD. Значит, высота МН = ВМ = 9 см.
17. Площадь треугольника ДСМ = 1/2 * СD * MH = 1/2 * 6 * 3 = 9 см².

Ответ: 9 см²