В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под подвижным поршнем массой 10 кг и площадью поперечного сечения 50 см² находится разреженный газ (см. рисунок). При движении сосуда по вертикали с ускорением, направленных вверх и равным по модулю 1 м/с², высота столба газа под поршнем постоянна и на 5% меньше, чем в покоящемся сосуде. Считая температуру газа под поршнем неизменной, а наружное давление постоянным, определите внешнее давление. Масса газа под поршнем постоянна.

Question

Вопрос:

В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под подвижным поршнем массой 10 кг и площадью поперечного сечения 50 см² находится разреженный газ (см. рисунок). При движении сосуда по вертикали с ускорением, направленных вверх и равным по модулю 1 м/с², высота столба газа под поршнем постоянна и на 5% меньше, чем в покоящемся сосуде. Считая температуру газа под поршнем неизменной, а наружное давление постоянным, определите внешнее давление. Масса газа под поршнем постоянна.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Пусть \(P_0\) - внешнее давление, \(h\) - высота столба газа в покоящемся сосуде, \(h'\) - высота столба газа при движении с ускорением. \(S\) - площадь поршня, \(m\) - масса поршня, \(g\) - ускорение свободного падения, \(a\) - ускорение сосуда.

В покоящемся состоянии давление газа под поршнем \(P_1\) уравновешивает внешнее давление и давление столба газа (если бы он был): \(P_1 = P_0 + \frac{mg}{S}\)

При движении вверх с ускорением \(a\), на поршень действует сила инерции, направленная вниз. Эффективное ускорение тяжести для газа в движущемся сосуде равно \(g_{eff} = g + a\).

Давление газа под поршнем в движущемся сосуде \(P_2 = P_0 + \frac{mg_{eff}}{S} = P_0 + \frac{m(g+a)}{S}\)

По закону Бойля-Мариотта (при постоянной температуре и массе газа): \(P_1 V_1 = P_2 V_2\)

Объем газа пропорционален высоте столба: \(V = S \cdot h\).

Таким образом: \(P_1 S h = P_2 S h'\) \( \cdot P_1 h = P_2 h' \)

По условию, \(h' = h - 0.05h = 0.95h\).

Подставим значения:

\( (P_0 + \frac{mg}{S}) h = (P_0 + \frac{m(g+a)}{S}) 0.95h \)

Разделим обе части на \(h\):

\( P_0 + \frac{mg}{S} = 0.95 (P_0 + \frac{m(g+a)}{S}) \)

\( P_0 + \frac{mg}{S} = 0.95P_0 + 0.95\frac{mg}{S} + 0.95\frac{ma}{S} \)

\( 0.05P_0 = -0.05\frac{mg}{S} - 0.95\frac{ma}{S} \)

Умножим на 100:

\( 5P_0 = -5\frac{mg}{S} - 95\frac{ma}{S} \)

Умножим на \(S\):

\( 5P_0 S = -5mg - 95ma \)

Отсюда:

\( P_0 = - \frac{5mg + 95ma}{5S} = - \frac{mg + 19ma}{S} \)

Данный результат указывает на ошибку в рассуждениях или формулировке. Пересмотрим уравнение давления газа.

Давление газа под поршнем определяется силами, действующими на поршень. В системе отсчета, связанной с сосудом, на поршень действуют:

Сила тяжести поршня \(mg\)
Сила давления газа \(P_2 S\) (направлена вверх)
Сила наружного давления \(P_0 S\) (направлена вниз)
Сила инерции, вызванная ускорением \(a\) (направлена вниз)

Уравнение сил для поршня в движущейся системе отсчета:

\(P_2 S - P_0 S - mg - ma = 0\)

\(P_2 S = P_0 S + mg + ma\)

\(P_2 = P_0 + \frac{m(g+a)}{S}\) - это давление газа под поршнем.

Теперь применим закон Бойля-Мариотта: \(P_1 V_1 = P_2 V_2\)

\(P_1 = P_0 + \frac{mg}{S}\) (давление газа в покоящемся сосуде)

\(P_2 = P_0 + \frac{m(g+a)}{S}\) (давление газа в движущемся сосуде)

\(V_1 = S h\), \(V_2 = S h' = S(0.95h)\)

\( (P_0 + \frac{mg}{S}) h = (P_0 + \frac{m(g+a)}{S}) 0.95h \)

\( P_0 + \frac{mg}{S} = 0.95 P_0 + 0.95 \frac{mg}{S} + 0.95 \frac{ma}{S} \)

\( 0.05 P_0 = -0.05 \frac{mg}{S} + 0.95 \frac{ma}{S} \)

\( 0.05 P_0 = \frac{m}{S} (-0.05g + 0.95a) \)

\( P_0 = \frac{m}{0.05S} (-0.05g + 0.95a) \)

\( P_0 = \frac{m}{S} (-g + 19a) \)

Дано: \(m = 10 \text{ кг}\), \(S = 50 \text{ см}^2 = 50 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 5 \times 10^{-3} \text{ м}^2\), \(a = 1 \text{ м/с}^2\). Возьмем \(g = 9.8 \text{ м/с}^2\).

\( P_0 = \frac{10}{5 \times 10^{-3}} (-9.8 + 19 \times 1) \) \( = 2000 (-9.8 + 19) = 2000 (9.2) = 18400 \text{ Па} \)

Если использовать \(g = 10 \text{ м/с}^2\):

\( P_0 = \frac{10}{5 \times 10^{-3}} (-10 + 19 \times 1) \) \( = 2000 (-10 + 19) = 2000 (9) = 18000 \text{ Па} \)

Проверим условие, что высота столба газа меньше. \(h' < h\).

\(P_1 = P_0 + \frac{mg}{S}\) и \(P_2 = P_0 + \frac{m(g+a)}{S}\). Если \(P_1 > P_2\), то \(h > h'\).

\( P_0 + \frac{mg}{S} > P_0 + \frac{m(g+a)}{S} \)

\( \frac{mg}{S} > \frac{m(g+a)}{S} \)

\( g > g+a \)

\( 0 > a \) - это противоречие, так как \(a > 0\).

Значит, \(P_1 < P_2\), и следовательно \(h > h'\). Условие \(h' = 0.95h\) выполнено.

Пересчитаем с \(g = 10 \text{ м/с}^2\) и \(a = 1 \text{ м/с}^2\) для простоты:

\(P_1 = P_0 + \frac{10 \times 10}{50 \times 10^{-4}} = P_0 + \frac{100}{0.05} = P_0 + 2000 \text{ Па}\)

\(P_2 = P_0 + \frac{10(10+1)}{50 \times 10^{-4}} = P_0 + \frac{110}{0.05} = P_0 + 2200 \text{ Па}\)

\(P_1 h = P_2 h' \)

\( (P_0 + 2000) h = (P_0 + 2200) 0.95h \)

\( P_0 + 2000 = 0.95 P_0 + 0.95 \times 2200 \)

\( P_0 + 2000 = 0.95 P_0 + 2090 \)

\( 0.05 P_0 = 2090 - 2000 \)

\( 0.05 P_0 = 90 \)

\( P_0 = \frac{90}{0.05} = \frac{9000}{5} = 1800 \text{ Па} \)

Используя \(g = 9.8 \text{ м/с}^2\):

\(P_1 = P_0 + \frac{10 \times 9.8}{5 \times 10^{-3}} = P_0 + \frac{98}{0.005} = P_0 + 19600 \text{ Па}\)

\(P_2 = P_0 + \frac{10(9.8+1)}{5 \times 10^{-3}} = P_0 + \frac{10 \times 10.8}{0.005} = P_0 + \frac{108}{0.005} = P_0 + 21600 \text{ Па}\)

\( (P_0 + 19600) h = (P_0 + 21600) 0.95h \)

\( P_0 + 19600 = 0.95 P_0 + 0.95 \times 21600 \)

\( P_0 + 19600 = 0.95 P_0 + 20520 \)

\( 0.05 P_0 = 20520 - 19600 \)

\( 0.05 P_0 = 920 \)

\( P_0 = \frac{920}{0.05} = \frac{92000}{5} = 18400 \text{ Па} \)

Ответ: 18400 Па