4. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=3см, СВ=12см, CD=27см, AD=4см, BD=9см. Докажите, что АВСD-трапеция.

4. В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = 3 см, CB = 12 см, CD = 27 см, AD = 4 см, BD = 9 см. Докажите, что ABCD - трапеция.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и BDC.

$$\frac{AB}{CD} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$$

$$\frac{AD}{BC} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{BD}{BD} = \frac{9}{9} = 1$$

$$\frac{AB}{CD} = \frac{AD}{BC} = \frac{BD}{BD}$$

Не выполняется пропорциональность сторон. Проверим пропорциональность сторон AB и AD треугольника ABD сторонам CD и CB треугольника BDC:

$$\frac{AB}{CD} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$$

$$\frac{AD}{CB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{BD}{DB} = \frac{9}{9} = 1$$

$$\frac{AB}{BD} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{AD}{CB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{BD}{CD} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$$

Следовательно, треугольники ABD и BDC подобны по трем сторонам (третий признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABD = ∠BDC. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей BD. Следовательно, AB || CD.

Так как в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, то ABCD - трапеция (по определению).

Ответ: ABCD - трапеция.