В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны, BC = 16, ∠ADC = 65°, ∠BAC = 45°, ∠CAD = 70°. Найдите длину стороны AD.

В треугольнике ACD третий угол равен:

∠ACD = 180° − 70° − 65° = 45°.

По теореме синусов в треугольнике ACD:

CD / AC = sin 70° / sin 65°.

Так как AB = CD, получаем AB / AC = sin 70° / sin 65°.

В треугольнике ABC углы при A и C равны соответственно 45° и 70°, поэтому ∠ABC = 65°. По теореме синусов AB / AC = sin 70° / sin 65°. Следовательно, соотношения согласуются, а из теоремы синусов BC / sin 45° = AC / sin 65°.

Тогда AC = 16 · sin 65° / sin 45°. Ещё раз применим теорему синусов в треугольнике ACD:

AD / sin 45° = AC / sin 65°, значит AD = 16.

Ответ: 16.