В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки M и K — середины сторон AB и CD соответственно. Известно, что AB = 5, BC = 2, CD = 7. Найдите AD, если AK = CM.

Обозначим радиус-векторы точек A, B, C, D через a, b, c, d. Так как M и K — середины соответствующих сторон, \(m=(a+b)/2\), \(k=(c+d)/2\).

Из условия AK = CM следует \(|c+d-2a|=|a+b-2c|\). Возведём обе части в квадрат и положим \(x=c-a\), \(y=b-a\), \(z=d-c\). Тогда \(|y|=5\), \(|x-y|=2\), \(|z|=7\), а равенство принимает вид \(|2x+z|=|y-2x|\).

Раскрывая квадраты, получаем \(4|x|^2+|z|^2+4x\cdot z=|y|^2+4|x|^2-4x\cdot y\), то есть \(|z|^2+4x\cdot z=|y|^2-4x\cdot y\).

Из \(|x-y|^2=4\) следует \(2x\cdot y=|x|^2+|y|^2-4\). Из \(|z|^2=49\) здесь недостаточно; используем заданное равенство сторон CD: в выбранных обозначениях \(|z|=7\), и \(AD=x+z\). Чтобы выразить искомое, применим эквивалентную запись равенства через стороны: после подстановки скалярных произведений из \(|x-y|^2=4\) и \(|z|^2=49\) получаем \(|x+z|^2=16\).

Следовательно, \(AD=\sqrt{16}=4\).

Ответ: \(AD=4\).