В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Доказательство:

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором углы BCA и BDA равны. Это означает, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности (т.к. углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны).

Пусть окружность, проходящая через точки A, B, C и D, описана вокруг четырёхугольника ABCD. Поскольку четырёхугольник ABCD вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусам:

\[\angle BAC + \angle BDC = 180^{\circ}\]

\[\angle ABD + \angle ACD = 180^{\circ}\]

Также известно, что сумма углов в четырёхугольнике ABCD равна 360 градусам:

\[\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}\]

Рассмотрим углы ABD и ACD. Они опираются на одну и ту же хорду AD. Поскольку углы BCA и BDA равны, то углы ABD и ACD также должны быть равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу окружности.

Таким образом, углы ABD и ACD равны.