В выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ углы $$CDB$$ и $$CAB$$ равны. Докажите, что углы $$BCA$$ и $$BDA$$ также равны.

Доказательство:

Рассмотрим выпуклый четырехугольник $$ABCD$$. Дано, что $$\angle CDB = \angle CAB$$. Рассмотрим окружность, проходящую через точки $$A$$, $$B$$, и $$C$$.

1. Если точка $$D$$ лежит на этой окружности, то углы $$BCA$$ и $$BDA$$ опираются на одну и ту же дугу $$BA$$, и, следовательно, они равны.

2. Если точка $$D$$ не лежит на этой окружности, рассмотрим $$\angle CAB = \angle CDB$$. Поскольку $$\angle CAB$$ опирается на дугу $$BC$$, а $$\angle CDB$$ равен ему, это означает, что точка $$D$$ должна лежать на той же окружности. Но это противоречие, так как мы предположили, что $$D$$ не лежит на окружности.

3. Таким образом, точка $$D$$ лежит на окружности, проходящей через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Следовательно, $$\angle BCA$$ и $$\angle BDA$$ оба опираются на дугу $$BA$$ и должны быть равны.

Что и требовалось доказать.