В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ВСА и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Дано: Четырёхугольник ABCD — выпуклый. ∠BCA = ∠BDA.

Доказать: ∠ABD = ∠ACD.

Доказательство:

1. Так как углы ∠BCA и ∠BDA опираются на одну и ту же сторону AB и равны, то точки A, B, C, и D лежат на одной окружности. Это следует из признака вписанного четырехугольника (если вершины четырехугольника лежат на окружности, то этот четырехугольник вписанный).

2. Рассмотрим углы ∠ABD и ∠ACD. Они также опираются на одну и ту же сторону AD.

3. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны между собой. Значит, ∠ABD = ∠ACD.

Таким образом, доказано, что если в выпуклом четырехугольнике ABCD углы ∠BCA и ∠BDA равны, то углы ∠ABD и ∠ACD также равны.