В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю РМ в точке Ѕ. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4.

Разбор задачи:

Нам дан четырёхугольник NPQM, вписанный в окружность. Диагональ NQ — биссектриса угла PNM. Известно, что PQ = 14 и SQ = 4. Нужно найти длину отрезка NS.

Ключевые свойства:

• Вписанный четырёхугольник: Сумма противоположных углов равна 180°.
• Биссектриса: Делит угол пополам.
• Равные дуги: Равным хордам соответствуют равные дуги, и наоборот.
• Теорема о пересекающихся хордах: Если две хорды пересекаются внутри круга, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Решение:

1. Равные углы: Так как NQ — биссектриса угла PNM, то ∠ PNQ = ∠ QNM.
2. Углы, опирающиеся на равные дуги: Углы ∠ PNQ и ∠ NMP опираются на одну и ту же дугу PQ. Следовательно, ∠ PNQ = ∠ NMP.
3. Совпадение углов: Из пунктов 1 и 2 следует, что ∠ QNM = ∠ NMP. Эти углы опираются на дуги QM и QP соответственно. Следовательно, дуги QM и QP равны.
4. Равные хорды: Равным дугам соответствуют равные хорды. Значит, хорда QM = хорде QP.
5. Нахождение QM: Нам дано, что PQ = 14, следовательно, QM = 14.
6. Теорема о пересекающихся хордах: Диагонали PM и NQ пересекаются в точке S. По теореме о пересекающихся хордах: NS ∙ SM = PS ∙ SQ.
7. Свойства равнобедренной трапеции: Поскольку QM = QP, четырёхугольник NPQM является равнобедренной трапецией (или прямоугольником, если углы прямые, но это не влияет на решение). В равнобедренной трапеции диагонали равны, т.е. PM = NQ.
8. Нахождение PS и SM: Поскольку PM = NQ, а точка S делит их, мы можем использовать это. Поскольку QM = QP = 14, и NQ является биссектрисой, можно предположить, что треугольник PSQ равнобедренный (PS = SQ), но это не следует напрямую из данных. Однако, поскольку QM=QP, треугольник PMQ является равнобедренным, и медиана из Q к PM является высотой и биссектрисой. Точка S - точка пересечения диагоналей.
9. Применение свойств равнобедренной трапеции: В равнобедренной трапеции, отрезок, соединяющий середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей. У нас QM = QP. Треугольники PSQ и NSM подобны.
10. Подобие треугольников PSQ и NSM: ∠ PSQ = ∠ NSM (вертикальные углы). ∠ SPQ = ∠ SNM (опираются на дугу SQ). ∠ SQP = ∠ SMN (опираются на дугу SN). Следовательно, △ PSQ ~ △ NSM.
11. Соотношение сторон: Из подобия следует: rac{NS}{PS} = rac{SM}{SQ} = rac{NM}{PQ}.
12. Дополнительное свойство: Так как QM = QP, то △ QMP = △ PMQ.
13. Использование равенства диагоналей: PM = NQ.
14. Равенство отрезков диагоналей: В равнобедренной трапеции отрезки диагоналей, отсекаемые параллельными сторонами, равны. То есть PS = QS и NS = MS. Это неверно, PS = SQ и NS = MS.
15. Правильное свойство: В равнобедренной трапеции диагонали равны: PM = NQ. Также, отрезки диагоналей, исходящие из одной вершины, могут быть равны, если трапеция является прямоугольником. Но здесь QM = QP = 14.
16. Из равенства хорд QM=QP следует, что △ QMP и △ PNQ равнобедренные, если PQ || NM.
17. Применение теоремы о секущих: Мы знаем, что QM = QP = 14. И SQ = 4.
18. Важное свойство: Если хорды QM и QP равны, то треугольники PSQ и NSM подобны. NS/PS = SM/SQ.
19. Равенство отрезков диагоналей: В равнобедренной трапеции равны отрезки диагоналей, исходящие из одной вершины и отсекаемые основанием. То есть, PS = SQ ИЛИ NS = MS.
20. Рассмотрим треугольник PQM. QM = PQ = 14. Треугольник равнобедренный.
21. Рассмотрим треугольник PNM. NQ - биссектриса.
22. Поскольку QM = QP, то дуги QM и QP равны. Углы, опирающиеся на эти дуги, равны. ∠ QNM = ∠ QPM.
23. Из того, что NQ - биссектриса: ∠ PNQ = ∠ QNM.
24. Из равенства дуг QP и QM: ∠ QNP = ∠ QMP.
25. Следовательно: ∠ QNM = ∠ QNP = ∠ QPM = ∠ QNM.
26. Значит: ∠ QNM = ∠ QPM.
27. Вписанный четырёхугольник NPQM, ∠ QNM = ∠ QPM (опираются на дугу QM).
28. Следовательно: ∠ PNQ = ∠ QNM = ∠ QPM.
29. Поскольку ∠ PNQ = ∠ QPM, то треугольник PSQ является равнобедренным, и PS = SQ.
30. Нам дано SQ = 4, значит PS = 4.
31. Теперь применим теорему о пересекающихся хордах: NS ∙ SM = PS ∙ SQ.
32. Также, из подобия △ PSQ ~ △ NSM (или △ PSM ~ △ NSQ), следует rac{NS}{PS} = rac{SM}{SQ}.
33. Рассмотрим подобие △ PSM ~ △ NSQ. ∠ PSM = ∠ NSQ (вертикальные). ∠ MPS = ∠ MNQ (опираются на дугу MQ). ∠ MSP = ∠ MSQ.
34. В равнобедренной трапеции диагонали равны, PM = NQ.
35. Также, PS = SQ = 4.
36. Значит, PM = PS + SM = 4 + SM.
37. NQ = NS + SQ = NS + 4.
38. Так как PM = NQ, то 4 + SM = NS + 4, следовательно SM = NS.
39. Теперь подставим в теорему о пересекающихся хордах: NS ∙ SM = PS ∙ SQ.
40. NS ∙ NS = 4 ∙ 4.
41. NS² = 16.
42. NS = 4.

Ответ: 4