В выражении 0*1*2*3*...* 20 звездочки заменили на плюсы и минусы. Сколько различных значений при этом могло принимать полученное выражение?

Решение:

В выражении \( 0*1*2*3*...*20 \) есть 20 звёздочек, которые заменяются на знаки '+' или '-'. Первая звёздочка находится между 0 и 1, последняя — между 19 и 20. Общее количество чисел от 0 до 20 равно 21.

Рассмотрим сумму \( S = 1 2 3 19 20 \), где \( \) — знак '+' или '-'.

Значение выражения будет \( 0 + S \) или \( 0 - S \).

Сумма \( 1 + 2 + + 20 = \frac{20 (20+1)}{2} = \frac{20 21}{2} = 210 \). Это максимальное значение.

Минимальное значение суммы \( S \) достигается, когда мы вычитаем как можно больше. Однако, нас интересует количество различных значений, которые может принимать вся сумма, включая 0.

Рассмотрим только сумму \( S = 1 2 19 20 \). Здесь 19 знаков. Каждая звёздочка может быть '+' или '-'. Это даёт \( 2^{19} \) возможных комбинаций. Однако, не все они будут давать разные значения.

Заметим, что если мы изменим знак перед любым числом \( k \) (где \( k \) от 1 до 20), то изменится итоговая сумма на \( 2k \).

Рассмотрим чётность суммы. Сумма всех чисел от 1 до 20 равна 210 (чётное число).

Если мы заменим '+' на '-' перед числом \( k \), то общая сумма изменится на \( -2k \).

Все возможные суммы \( S \) будут иметь ту же чётность, что и 210, то есть чётность.

Рассмотрим сумму \( S = 1 2 20 \). Минимальная возможная сумма будет, когда мы берём отрицательные значения для всех чисел. \( -(1+2++20) = -210 \).

Максимальная сумма — \( +210 \). Минимальная сумма — \( -210 \). Все промежуточные суммы будут иметь ту же чётность, что и 210, то есть они чётные.

Разница между максимальной и минимальной суммой — \( 210 - (-210) = 420 \).

Количество чётных чисел в диапазоне от -210 до 210 (включительно) равно \( \frac{210 - (-210)}{2} + 1 = \frac{420}{2} + 1 = 210 + 1 = 211 \).

С учётом того, что перед 0 стоит знак '+' или '-', эти значения не меняют итоговое выражение (0 + S = S, 0 - S = -S).

Однако, если мы рассматриваем выражение \( 0 1 2 20 \), где \( \) — это '+' или '-', то у нас есть 20 позиций для знака. Каждая позиция может быть '+' или '-'.

Рассмотрим сумму \( S = 1 2 20 \). Здесь 20 чисел, каждое из которых может быть с плюсом или минусом. Всего \( 2^{20} \) комбинаций знаков.

Сумма всех чисел от 1 до 20 равна 210.

Рассмотрим, какие значения может принимать сумма \( S = a_1 1 + a_2 2 + + a_{20} 20 \), где \( a_i = 1 \).

Максимальная сумма: \( 1+2++20 = 210 \).

Минимальная сумма: \( -(1+2++20) = -210 \).

Все промежуточные суммы будут иметь ту же чётность, что и 210, т.е. они чётные. Это означает, что все значения, которые может принимать сумма \( S \), будут чётными числами в диапазоне от -210 до 210.

Количество чётных чисел в диапазоне от -210 до 210 включительно равно \( \frac{210 - (-210)}{2} + 1 = 211 \).

Все эти значения (211) будут различными.

Ответ: 211