в) y = 5x^5 - 3x^3 + 7;

Решение:

Для данной функции \( y = 5x^5 - 3x^3 + 7 \), найдём её производную, чтобы определить точки экстремума и интервалы монотонности.

1. Найдём производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(5x^5 - 3x^3 + 7) \] \[ y' = 25x^4 - 9x^2 \]
2. Приравняем производную к нулю: \( 25x^4 - 9x^2 = 0 \)
3. Вынесем \( x^2 \) за скобки: \( x^2(25x^2 - 9) = 0 \)
4. Это даёт два случая: \( x^2 = 0 \) или \( 25x^2 - 9 = 0 \).
5. Из \( x^2 = 0 \) получаем \( x = 0 \).
6. Из \( 25x^2 - 9 = 0 \) получаем \( 25x^2 = 9 \), \( x^2 = \frac{9}{25} \), \( x = \pm \frac{3}{5} \).
7. Таким образом, критические точки: \( x = -3/5, x = 0, x = 3/5 \).
8. Определим интервалы монотонности. На интервале \( (-\infty, -3/5) \) \( y' > 0 \) (функция возрастает). На интервале \( (-3/5, 0) \) \( y' < 0 \) (функция убывает). На интервале \( (0, 3/5) \) \( y' < 0 \) (функция убывает). На интервале \( (3/5, \infty) \) \( y' > 0 \) (функция возрастает).
9. Следовательно, при \( x = -3/5 \) — локальный максимум, при \( x = 3/5 \) — локальный минимум. В точке \( x = 0 \) экстремума нет, это точка перегиба.

Ответ: Точки экстремума: локальный максимум при \( x = -3/5 \), локальный минимум при \( x = 3/5 \). Функция возрастает на \( (-\infty, -3/5) \) и \( (3/5, \infty) \), убывает на \( (-3/5, 3/5) \).