В ящике 7 красных и 3 зеленых шара. Из ящика по очереди извлекают два шара, шары не возвращаются обратно. Какова вероятность того, что оба шара будут красными?

Решение:

Обозначим события:

• A — первый шар красный.
• B — второй шар красный.

Всего в ящике \( 7 + 3 = 10 \) шаров.

Вероятность вынуть первый красный шар:

\[ P(A) = \frac{\text{количество красных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{7}{10} \]

После того как первый шар (красный) был извлечен и не возвращен, в ящике остается \( 10 - 1 = 9 \) шаров. Из них \( 7 - 1 = 6 \) красных.

Вероятность вынуть второй красный шар при условии, что первый был красным:

\[ P(B|A) = \frac{\text{количество оставшихся красных шаров}}{\text{общее количество оставшихся шаров}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

Вероятность того, что оба шара будут красными (события A и B произойдут последовательно), равна произведению вероятностей:

\[ P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{7}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \]

Ответ: Вероятность того, что оба шара будут красными, равна \( \frac{7}{15} \).