В ящике 8 красных и 4 зеленых шара. Наудачу извлекаются три шара. Какова вероятность того, что будут извлечены два красных шара и один зеленый шар?

Решение:

• Общее количество шаров в ящике: 8 красных + 4 зеленых = 12 шаров.
• Извлекаются 3 шара наугад. Общее число возможных исходов равно числу сочетаний из 12 по 3: $$C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$$.
• Нас интересует событие, когда извлечены 2 красных шара и 1 зеленый шар.
• Число способов выбрать 2 красных шара из 8: $$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$.
• Число способов выбрать 1 зеленый шар из 4: $$C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$$.
• Число благоприятных исходов (2 красных и 1 зеленый шар) равно произведению числа способов выбора каждого типа шара: $$C(8, 2) \times C(4, 1) = 28 \times 4 = 112$$.
• Вероятность искомого события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $$P = \frac{112}{220}$$.
• Сократим дробь: $$P = \frac{112}{220} = \frac{56}{110} = \frac{28}{55}$$.

Ответ: Вероятность того, что будут извлечены два красных шара и один зеленый шар, равна $$\frac{28}{55}$$.