В ящике первоначально находилось 6 шаров: 4 чёрных и 2 белых. Один шар был потерян. Затем из урны наугад извлекли 1 шар. Обозначим события: А — "извлечён белый шар", В1 "потерян чёрный шар" и В2 — "потерян белый шар". Выберите формулу для вычисления вероятности события В1 "потерян чёрный шар", если известно, что был извлечён шар белого цвета.

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой условной вероятности:

$$P(B_1|A) = \frac{P(A|B_1) \cdot P(B_1)}{P(A)}$$

где:

• $$P(B_1|A)$$ – вероятность того, что был потерян чёрный шар, при условии, что извлечён белый шар.
• $$P(A|B_1)$$ – вероятность извлечь белый шар, при условии, что был потерян чёрный шар.
• $$P(B_1)$$ – вероятность того, что был потерян чёрный шар.
• $$P(A)$$ – вероятность извлечь белый шар.

Рассчитаем каждый из этих параметров:

1. Вероятность того, что был потерян чёрный шар:

   $$P(B_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

2. Вероятность того, что был потерян белый шар:

   $$P(B_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

3. Вероятность извлечь белый шар, если был потерян чёрный шар:

   Если был потерян чёрный шар, то в ящике осталось 5 шаров, из которых 2 белые.

   $$P(A|B_1) = \frac{2}{5}$$

4. Вероятность извлечь белый шар, если был потерян белый шар:

   Если был потерян белый шар, то в ящике осталось 5 шаров, из которых 1 белый.

   $$P(A|B_2) = \frac{1}{5}$$

5. Полная вероятность извлечь белый шар:

   $$P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{15} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$

6. Тогда искомая условная вероятность:

   $$P(B_1|A) = \frac{\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{15} \cdot \frac{3}{1} = \frac{4}{5}$$

Ответ: $$P(B_1|A) = \frac{4}{5}$$