В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

Задача:

В ящике 3 красных (К) и 3 синих (С) фломастера. Всего 6 фломастеров.

Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Нужно найти вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету.

Логика решения:

Для того чтобы синий фломастер появился третьим по счету, первые два фломастера должны быть красными, а третий — синим. Рассмотрим возможные варианты последовательности вытягивания фломастеров:

1. Первый фломастер: Чтобы первый синий появился третьим, первый фломастер должен быть красным. Вероятность вытянуть красный фломастер из 3 красных и 3 синих (всего 6) равна:



\[ P(\text{1-й красный}) = \frac{\text{Количество красных}}{\text{Общее количество}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]




2. Второй фломастер: После того как вытянули один красный фломастер, в ящике осталось 2 красных и 3 синих (всего 5). Вероятность вытянуть второй красный фломастер равна:



\[ P(\text{2-й красный} | \text{1-й красный}) = \frac{\text{Оставшиеся красные}}{\text{Оставшиеся всего}} = \frac{2}{5} \]




3. Третий фломастер: После того как вытянули два красных фломастера, в ящике осталось 1 красный и 3 синих (всего 4). Вероятность вытянуть синий фломастер третьим равна:



\[ P(\text{3-й синий} | \text{1-й красный, 2-й красный}) = \frac{\text{Оставшиеся синие}}{\text{Оставшиеся всего}} = \frac{3}{4} \]




4. Общая вероятность: Чтобы найти вероятность всей последовательности (Красный, Красный, Синий), нужно перемножить вероятности каждого шага:



\[ P(\text{К, К, С}) = P(\text{1-й красный}) \times P(\text{2-й красный} | \text{1-й красный}) \times P(\text{3-й синий} | \text{1-й красный, 2-й красный}) \]




\[ P(\text{К, К, С}) = \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20} \]




Альтернативный подход (через перестановки):

Общее количество способов вытащить 6 фломастеров в определенном порядке равно числу перестановок из 6 элементов: $$6! = 720$$.

Количество способов получить последовательность (Красный, Красный, Синий) первым:

- Выбрать 2 красных фломастера из 3: $$P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = 3 \times 2 = 6$$ способов.

- Выбрать 1 синий фломастер из 3: $$P(3, 1) = 3$$ способа.

- Остальные 3 фломастера (1 красный и 2 синих) могут быть выбраны в любом порядке: $$3! = 6$$ способов.

Общее число благоприятных исходов = $$P(3, 2) \times P(3, 1) \times 3! = 6 \times 3 \times 6 = 108$$.

Вероятность = $$\frac{108}{720} = \frac{3}{20}$$.

Примечание: Первый подход проще и интуитивно понятнее для данной задачи.

Ответ: 3/20