В) Задача про квадрокоптер: Квадрокоптер взлетел на высоту 2 км над Землей, радиус которой приблизительно равен 6400 км. Как далеко камера квадрокоптера будет видеть? С) На рисунке показано расположение населенных пунктов (точки М, Е, А, Р), три из которых находятся на берегу озера в форме круга. Предложите как минимум 4 маршрута и укажите их протяженность, используя доступные пути (по озеру или по дорогам), если известно, что прямые МА и MF (дороги по рисунку) являются касательными к окружности (озеро), MF=11 км, АМ=8 км, АО-10 км, PF=7 км. P

В) Задача про квадрокоптер:

Для решения задачи необходимо воспользоваться теоремой Пифагора. Расстояние от квадрокоптера до горизонта является касательной к поверхности Земли.

• Радиус Земли R = 6400 км
• Высота квадрокоптера над Землей h = 2 км
• Расстояние от центра Земли до квадрокоптера d = R + h = 6400 + 2 = 6402 км

Пусть L - расстояние, которое видит камера квадрокоптера. Тогда по теореме Пифагора:

\[ L^2 + R^2 = d^2 \] \[ L = \sqrt{d^2 - R^2} = \sqrt{6402^2 - 6400^2} \] \[ L = \sqrt{(6402 + 6400)(6402 - 6400)} = \sqrt{12802 \cdot 2} = \sqrt{25604} ≈ 160.01 \text{ км} \]

Камера квадрокоптера будет видеть приблизительно на расстоянии 160 км.

С) Задача про населенные пункты:

На рисунке показано расположение населенных пунктов (точки M, F, A, P), три из которых находятся на берегу озера в форме круга. Предложите как минимум 4 маршрута и укажите их протяженность, используя доступные пути (по озеру или по дорогам), если известно, что прямые MA и MF (дороги по рисунку) являются касательными к окружности (озеро), MF=11 км, AM=8 км, AO=10 км, PF=7 км.

Логика такая:

• MA и MF - касательные к окружности, следовательно, треугольники MAO и MFO - прямоугольные.
• Так как MA и MF - касательные, отрезки от точки M до точек касания A и F равны.
• По теореме Пифагора найдем радиус окружности (озера).

Пусть r – радиус окружности. Тогда в прямоугольном треугольнике MAO:

\[ AO^2 + AM^2 = MO^2 \] \[ 10^2 + 8^2 = MO^2 \] \[ MO = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} \]

В прямоугольном треугольнике AOr:

\[ r^2 + AM^2 = MO^2 \] \[ r^2 + 8^2 = (\sqrt{164})^2 \] \[ r^2 = 164 - 64 = 100 \] \[ r = \sqrt{100} = 10 \text{ км} \]

Четыре возможных маршрута и их протяженности:

1. Маршрут 1: M → A → P
   • Длина маршрута: MA + AP
   • MA = 8 км
   • Нужно найти AP. Так как AO = 10 км и PF = 7 км, примем, что они лежат на одной прямой. Тогда AP = AO + OP = 10 + 7 = 17 км
   • Длина маршрута 1: 8 + 17 = 25 км
2. Маршрут 2: M → F → P
   • Длина маршрута: MF + FP
   • MF = 11 км
   • FP = 7 км
   • Длина маршрута 2: 11 + 7 = 18 км
3. Маршрут 3: M → (по озеру) → A → P
   • Длина маршрута: Длина дуги AF + AP
   • Длина дуги AF = (\frac{1}{4}) \cdot 2 \pi r = (\frac{1}{4}) \cdot 2 \pi \cdot 10 = 5\pi ≈ 15.71 км
   • Длина маршрута 3: 15.71 + 17 ≈ 32.71 км
4. Маршрут 4: M → (по озеру) → F → P
   • Длина маршрута: Длина дуги AF + FP
   • Длина дуги AF = 15.71 км
   • Длина маршрута 4: 15.71 + 7 ≈ 22.71 км

Маршруты и их протяженности:

• Маршрут 1: M → A → P, длина 25 км
• Маршрут 2: M → F → P, длина 18 км
• Маршрут 3: M → (по озеру) → A → P, длина ≈ 32.71 км
• Маршрут 4: M → (по озеру) → F → P, длина ≈ 22.71 км

Ответ: 160 км, Маршруты 1: 25 км, 2: 18 км, 3: 32.71 км, 4: 22.71 км