В задаче сказано, что в датасете \( X \) есть только \( k \) «похожих» объектов, а все остальные объекты — различные. Помогите Васе найти вероятность того, что в датасете \( X_{\text{boot}} \) будет хотя бы один из \( k \) «похожих» объектов. В ответе укажите предел по \( n \to +\infty \). Ответ округлять необязательно. Допустимая погрешность \( \pm 10^{-3} \). Пусть \( k = 5.0 \).

Решение:

Пусть \( N \) — общее количество объектов в исходном датасете \( X \), а \( k \) — количество «похожих» объектов. В данном случае \( k = 5 \).

Вероятность выбрать «похожий» объект при одном извлечении равна \( P(\text{похожий}) = \frac{k}{N} \).

Вероятность выбрать «непохожий» объект равна \( P(\text{непохожий}) = \frac{N-k}{N} = 1 - \frac{k}{N} \).

Датасет \( X_{\text{boot}} \) формируется путем сэмплирования \( n \) объектов с возвращением. Нам нужно найти вероятность того, что в \( X_{\text{boot}} \) будет хотя бы один «похожий» объект.

Проще найти вероятность противоположного события: что в \( X_{\text{boot}} \) НЕ будет ни одного «похожего» объекта (то есть все \( n \) объектов будут «непохожими»).

Вероятность того, что все \( n \) выбранных объектов будут «непохожими», равна:

\( P(\text{все непохожие}) = \left( \frac{N-k}{N} \right)^n = \left( 1 - \frac{k}{N} \right)^n \).

Вероятность того, что будет хотя бы один «похожий» объект, равна 1 минус вероятность того, что все объекты «непохожие»:

\( P(\text{хотя бы один похожий}) = 1 - P(\text{все непохожие}) = 1 - \left( 1 - \frac{k}{N} \right)^n \).

Нас просят найти предел этой вероятности при \( n \to +\infty \).

Рассмотрим предел выражения \( \left( 1 - \frac{k}{N} \right)^n \) при \( n \to +\infty \).

Поскольку \( 0 < \frac{k}{N} < 1 \) (так как \( k < N \) и \( k > 0 \)), то \( 0 < 1 - \frac{k}{N} < 1 \).

Когда основание степени (меньше 1) возводится в степень, стремящуюся к бесконечности, результат стремится к 0.

\( \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{k}{N} \right)^n = 0 \).

Следовательно, предел вероятности того, что будет хотя бы один «похожий» объект:

\( \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \left( 1 - \frac{k}{N} \right)^n \right) = 1 - 0 = 1 \).

Ответ: 1.