В задуманном трёхзначном числе цифра, стоящая в разряде сотен, в 4 раза меньше цифры, стоящей в разряде единиц. Если эти две цифры поменять местами, то число увеличится на 594. Найдите задуманное число, если сумма цифр этого числа равна 15. Решение:

Привет! Давай разберем эту задачку по шагам.

1. Что нам известно?

• Число трехзначное.
• Цифра сотен в 4 раза меньше цифры единиц.
• Если поменять цифры сотен и единиц местами, число увеличится на 594.
• Сумма всех цифр равна 15.

2. Обозначим цифры:

Пусть:

• $$x$$ — цифра сотен
• $$y$$ — цифра десятков
• $$z$$ — цифра единиц

Из условия мы знаем, что:

• $$x = z / 4$$ (или $$z = 4x$$)
• $$x + y + z = 15$$
• Новое число (с поменянными цифрами сотен и единиц) = $$100z + 10y + x$$
• Исходное число = $$100x + 10y + z$$
• Разница между новым и исходным числом = $$(100z + 10y + x) - (100x + 10y + z) = 594$$

3. Упростим уравнение разницы:

\[ (100z + 10y + x) - (100x + 10y + z) = 594 \]

\[ 100z + 10y + x - 100x - 10y - z = 594 \]

\[ 99z - 99x = 594 \]

Разделим обе части на 99:

\[ z - x = 6 \]

4. Теперь у нас есть система уравнений:

1. $$z = 4x$$
2. $$z - x = 6$$
3. $$x + y + z = 15$$

5. Найдем $$x$$ и $$z$$:

Подставим первое уравнение во второе:

\[ 4x - x = 6 \]

\[ 3x = 6 \]

\[ x = 2 \]

Теперь найдем $$z$$, используя $$z = 4x$$:

\[ z = 4 * 2 \]

\[ z = 8 \]

6. Найдем $$y$$ (цифру десятков):

Используем третье уравнение: $$x + y + z = 15$$. Подставим найденные $$x$$ и $$z$$:

\[ 2 + y + 8 = 15 \]

\[ 10 + y = 15 \]

\[ y = 15 - 10 \]

\[ y = 5 \]

7. Составим число:

Цифра сотен ($$x$$) = 2

Цифра десятков ($$y$$) = 5

Цифра единиц ($$z$$) = 8

Искомое число: 258.

8. Проверим:

• Цифра сотен (2) в 4 раза меньше цифры единиц (8). (2 = 8 / 4) — Верно.
• Сумма цифр: $$2 + 5 + 8 = 15$$ — Верно.
• Поменяем местами цифры сотен и единиц: получим 852.
• Разница: $$852 - 258 = 594$$ — Верно.

Ответ: 258