В знакопеременной геометрической прогрессии первый член равен 240, а сумма третьего и пятого членов равна 75. Найдите сумму первых трёх членов прогрессии. Варианты ответа: 480; 400; 180; 200; 179.

Пусть знаменатель прогрессии равен \(q\). Тогда \(a_1=240\), \(a_3=240q^2\), \(a_5=240q^4\).

По условию: \[240q^2+240q^4=75.\] Обозначим \(x=q^2\). Получаем \[240x(1+x)=75,\qquad x^2+x-\frac{5}{16}=0.\] Отсюда \(x=\frac14\), так как \(x=q^2\ge 0\). Следовательно, \(q^2=\frac14\), а \(q=\pm\frac12\). Поскольку прогрессия знакопеременная, \(q=-\frac12\).

Сумма первых трёх членов: \[S_3=a_1+a_1q+a_1q^2=240-120+60=180.\]

Ответ: 180.