В1. Диагональ куба равна 6 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из граней.

Решение:

Пусть ребро куба равно a.

а) Нахождение ребра куба:

• Диагональ куба (d) связана с длиной ребра формулой: d = a√3.
• По условию, диагональ куба равна 6 см.
• Подставляем значение: 6 = a√3.
• Находим a: a = 6 / √3 = 6√3 / 3 = 2√3 см.

б) Нахождение косинуса угла между диагональю куба и плоскостью одной из граней:

Рассмотрим куб с вершинами A, B, C, D, A1, B1, C1, D1. Пусть диагональ куба — это A1C. Рассмотрим грань ABCD. Диагональ куба A1C образует угол с плоскостью грани ABCD. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали куба A1C на плоскость грани ABCD будет диагональ основания AC.

Треугольник A1CA является прямоугольным, так как A1A (ребро куба) перпендикулярно плоскости основания ABCD, а следовательно, и любой прямой в этой плоскости, включая AC. Таким образом, A1A ⊥ AC.

В этом прямоугольном треугольнике:

• Катет A1A = a = 2√3 см (ребро куба).
• Катет AC — диагональ грани. Длина диагонали грани равна a√2.
• AC = (2√3)√2 = 2√6 см.
• Гипотенуза A1C — диагональ куба, равная 6 см.

Угол между диагональю куба A1C и плоскостью грани ABCD — это угол ∠A1CA.

Найдем косинус этого угла:

cos(∠A1CA) = (прилежащий катет) / (гипотенуза) = AC / A1C

cos(∠A1CA) = (2√6) / 6 = √6 / 3

Ответ:

• а) Ребро куба: 2√3 см.
• б) Косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из граней: √6 / 3.